Costruzione del campo di spezzamento

[francicko]

Che esista un campo di spezzamento per un polinomio è evidente, basta aggiungere le radici a partire dal campo base ottenendo così successive estensioni sino al campo di spezzamento , quello che non riesco a capire è perché questo procedimento , conduca sempre ad un campo di spezzamento isomorfo e quindi unico.
Si può dimostrare solo con l'induzione?

[Martino]

L'esistenza non è evidente per niente. Riguardo l'unicità (a meno di isomorfismo), l'unica dimostrazione che conosco è per induzione, e dubito che si possa dimostrare senza usare l'induzione.

[francicko]

Ad esempio nel caso di un polinomio di grado $n=3$ irriducibile nel campo base , $F$, sia $E$ campo di spezzamento, se si raggiunge tale campo semplicemente
aggiungendo una qualsiasi radice del polinomio, avremo esattamente tre copie isomorfe , $E=F[x_1]=F[x_2]=F[x_3]$, avendo indicato con ${x_1,x_2,x_3}$ le distinte radici del polinomio, se cio non avviene allora aggiungendo le radici nell'ordine al campo base, otterremo $E=F[x_1,x_2]=F[x_1,x_3]=F[x_2,x_1]=F[x_2,x_3]=F[x_3_x_1]=F[x_3,x_2]$ , cioe esattanente $6$ copie isomorfe, quindi anche per $n=3$ e' vero , banalmente lo è ovviamente per $n=1$ ed $n=2$. Giusto?

[Martino]

Non si capisce di cosa tu stia parlando, inoltre non mi sembra che ti sia chiaro cosa significhi isomorfismo.

[francicko]

Scusa, sicuramente faccio molta confusione, cerco di riformulare la domanda.
Sia $F$ un campo e sia $p^3(x)$ un polinomio di grado $3$ ivi irraggiungibile, indico con ${alpha_1,alpha_2,alpha_3}$ le radici distinte, essendo irriducibile sarà $(F[x])/(p^3(x))~~F[alpha_1]$, ed anche $(F[x])/(p^3(x))~~F[alpha_2]$, supponiamo inoltre che siano rispettivamente $(p^3(x))/(x-alpha_1)=p_1^2(x)$ ed
$(p^3(x))/(x-alpha_2)=p_2^2(x)$ polinomi irriducibili in

$F[alpha_1]=F_1$ ed $F[alpha_2]=F_2$
Procedendo per la costruzione di un campo di
spezzamento, avrò:
$F[alpha_1]=F_1$ ed $(F_1)/(p_1^2(x))~~F_1[alpha_2]=E_1$
Campo di spezzamento .
$F[alpha_2]=F_2$, ed $F_2/(p_2^2(x))~~F_2[alpha_1]=E_2$
Campo di spezzamento.
Dovrei fare vedere che $E_1~~E_2$ come si può fare ?
Sicuramente dovrei trovare un isomorfiso, giusto?

[Martino]

Ma $F_1[alpha_2]$ e $F_2[alpha_1]$ sono uguali tra loro (per costruzione). Sono entrambi uguali a $F[alpha_1,alpha_2]$. Essendo uguali, sono ovviamente isomorfi.

Per questo dico che secondo me non ti è chiaro cosa significhi isomorfismo.

[francicko]

Lasciando perdere per ora il campo di spezzamento, pongo un altra domanda:
Sia $F$ un campo $p^n(x)$ un polinomio di grado $n$ ivi irriducibile, ${alpha_1,alpha_2,...,alpha_n}$ le sue radici distinte, indichiamo con:
$F[alpha_1]=F_1~~F[alpha_2]=F_2,....,~~F[alpha_n]=F_n$
i rispettivi campi isomorfi.
Indichiamo inoltre con:
$p_1^(n-1)(x)=(p^n(x))/(x-alpha_1),$ $p_2^(n-1)(x)=(p^n(x))/(x-alpha_2)$ $,$ $.......,$ $p_n^(n-1)(x)=(p^n(x))/(x-alpha_n)$
I polinomi di grado $n-1$ che supponiamo irriducibili rispettivamente in $F_1,F_2,..F_n$
Mi chiedevo se i campi
$F_1//p_1^(n-1)(x),$ $F_2//p_2^(n-1)(x)$ $,.....$ $,F_n//p_n^(n-1)(x)$ risultano tutti tra loro isomorfi?

[francicko]

Ha senso la domanda che ho posto?

[Martino]

Sì ha senso e direi che la risposta è sì, ma la dimostrazione che ho in mente non è troppo elementare.

[francicko]

Dovrebbe essere si la risposta perché diversamente il procedimento porterebbe alla costruzione di campi di spezzamento diversi, non isomorfi, quindi verrebbe meno l'unicità?
Inoltre si potrebbe provare a dimostrare l'asserzione in oggetto, semplicemente usando il principio induttivo?