da francicko » 14/04/2024, 23:47
Appena posso mi procurerò il testo basic in algebra, come mi avete consigliato, nel frattempo però riporto la dimostrazione del testo di cui sono in possesso.
Premetto che se voglio dimostrare che due campi di spezzamento di uno stesso polinomio sono isomorfi,attraverso il processo induttivo devo usare un indicatore a valori interi, e cosa di piu naturale se non la dimensione dell'estensione sul campo base, giusto?
Cioè supponiamo che il risultato sia vero per ogni campo
$F_0$ e per ogni polinomio $f(x)$ a coefficienti in $F_0$ , tali che$|E:F_0|<n$ con $E$ campo di spezzamento , giusto?
Siamo $F$ ed $F'$ due campi sia $phi'$ un isomorfismo tale che $phi(a)=a'$, questo si estende da $F[x]$ ad $F'[x]$ tale che $phi'(a_0x+a_1x+...+a_nx^n)=phi'(a_0)x+phi'(a_1)x+...+phi'(a_n)x^n=a'_0+a'_1x+...+a'_nx^n$, sin qui sono stato chiaro?
Andiamo ora direttamente al teorema da dimostrare:
Sia $f(x)$ un polinomio irriducibile di $F[x]$ con $F$ campo, e sia $E_1$ un un campo di spezzamento di $f$ su $F$ , sia $E_2$ un campo di spezzamento di $f'$ $in$ $F'[x]$ su $F'$ allora esiste un isomorfismo $sigma :$ $E_1->E_2$
con $sigma|F=phi'$
Procedendo per induzione sul grado $|E_1:F|$, se
$E_1:F|=1$ si ha $E_1=F$ quindi $F$ contiene tutte le radici $alpha_i$ di $f$ ed $E_2$ di conseguenza contiene tutte le radici $alpha'_i$ di $f'$ pertanto sara $E_2=F'$ , avremo allora $sigma$ $=$ $phi'$
Supponiamo ora che sia $ |E_1:F|>1$, sia inoltre $alpha_1$ $in$ $E_1$ una radice di $f$ ed $alpha_2$ una radice di $f'$ $in$ $E_2$, sappiamo che esiste un isomorfismo tale che $F[alpha_1] ~~F'[alpha _2]$ e che manda $a$ in $a'$ per ogni $a$ $in$ $F$.
Osserviamo che $|E:F|=|E_1:F[alpha_1]||F[alpha_1]:F|$ per
la formula dei gradi, e poiché $F[alpha_1]:F>1$ segue che
$|E_1:F|>|E_1:F[alpha_1]$.
Inoltre $E_1$ è un campo di spezzamento di $f$ su $F[alpha_1]$ mentre $E&2$ è un campo di spezzamento di $f'$ su $F[a_2]$
Conclude dato che $| E_1:F|>|E_1: F[alpha_1]|$ possiamo concludere per induzione..Ecco quest'ultima parte non l'ho capita!
"Anche una sola ingiustizia minaccia la giustizia di tutti."
"Martin Luther King"