Domanda di teoria sull'immagine

[nestor]

Sempre per il motivo di cui sopra. Perché il modus ponens è la prima volta per cui ho sfruttato il fatto che una tautologia mi fa capire che se (A=>B) è vera allora deduco (not B => not A). Quindi posso dimostrare (not B => not A) vera, dopo aver mostrato (A=>B) vera.

Diciamo che il modus ponens ha avuto la "sfiga", per primo, di farmi rendere conto di questo utilizzo; non è che avesse qualcosa di intrinsecamente speciale.



Il dimostrare fino ad oggi per me è sempre stato F=>Z, mostri che questo è vero, se a posto.

Oggi mi sono reso conto che se ho ad esempio mostrato che F=>Z tatuologia, allora se F è vero ho che Z è vero. In un certo senso dedurre è un po' diverso dall'utilizzo che ho sempre fatto dell'implicazione.

[Martino]

Allora basta che ti togli dalla testa la convinzione sbagliata secondo cui puoi dimostrare solo implicazioni.

[nestor]

Sì esatto. Quella era una cosa molto sbagliata che avevo in mente. E in secondo luogo debbo aggiungere il fatto che quando ho dimostrato una tautologia (che qui scrivo semplicemente come A=>B), allora dimostrato vero A deduco B (considerazione, o meglio "deduzione", che discende proprio dall'avere una tautologia). Era un fatto di cui, sinceramente, non mi ero mai accorto.

Per questo prima non capivo, avevo preconcetti ben saldi in mente e non capivo.

[megas_archon]

Secondo me il tuo dubbio è (anche) questo https://math.stackexchange.com/question ... mplication

[nestor]

Certo che sì, è proprio quello infatti. Che rozzamente ho riassunto in

considerazione, o meglio "deduzione", che discende proprio dall'avere una tautologia
(nel mio ultimo post)

il fatto è che c'è una differenza tra implicazione materiale e logica -> e =>. Ad ora ho tagliato corto spiegandomela come scrivevo nel mio ultimo post (non so se possa funzionare, ma per le cose spicciole a tentoni mi pare di sì), perché sto leggendo le pagine che hai linkato... ma credo mi ci vorrà un po' di tempo per interiorizzarle.

[nestor]

Per chiarire meglio la mia precedente, quello che volevo dire è che prima conoscevo solo l'implicazione materiale.

Quindi quando trovavo il modus ponens, io leggevo solo $(P & (P->Q))->Q$ (*) e per me andava dimostrata come implicazione tutta. Non pensavo portasse anche a un processo di deduzione "Q vera" date le premesse vere.
Ho poi scoperto con questi discorsi che, esiste =>, quella detta "implicazione logica".
Questa permette la deduzione "=>" che è una relazione tra predicati, dunque $(P & (P->Q))=>Q$ in sostanza ci dice quello che spiegava Martino: date P e (P->Q) vere, "deduco" Q vera, ma questo è proprio perché (*) è una tautologia.

D'altra parte leggevo che si dimostra che => si ha se e solo se -> è una tautologia.

Detto ciò volevo ringraziare tutti per l'aiuto, inoltre sto leggendo quelle dispense... però mi ci vorrà ancora un po' per avere un bel quadro completo e formale.

[kaiz]

Mi sono sparato la lettura di tutta la discussione e mi è molto interessata anche la digressione sulla logica.
Però qualche tempo fa avevo accantonato il dubbio iniziale di OP riservandomi di tornarci su e casualmente me lo ritrovo in queste pagine e quindi forse è l'occasione giusta per rimetterci mano.

La mia domanda è per me molto importante perché ci ho riflettuto a lungo e non ho mai davvero ben capito il perché per valutare l'immagine (mi riferisco al primo messaggio di questa discussione) si prenda un "per ogni v" per trovare l'immagine se la definizione di immagine stessa usa il quantificatore "esiste v" nella descrizione dell'insieme di elementi.

Purtroppo sebbene abbia letto tutto non ho capito la spiegazione che si è dato OP che ha capito come risolverSI il dubbio.

Parto quindi dalla risposta di @Martino:

Il motivo è che i due insiemi

1) ${w in W\ :\ ∃v in V\ t.c.\ f(v)=w}$

2) ${f(v)\ :\ v in V}$

sono uguali tra loro.

e chiedo perché questo garantirebbe il poter prendere "per ogni v"?
Le due scritture si dovrebbero leggere, come da voi scritto:
1) w∈A se e solo se esiste v∈V tale che f(v)=w
2) un elemento è in B se e solo se sarà del tipo f(v) per qualche v∈V ovvero un elemento è in B se e solo se sarà del tipo f(v) t.c esiste v∈V

Io ci vedo sempre un esiste, non ho quindi capito da cosa salti fuori il per ogni nella risposta del quote.

Mi si potrebbe gentilmente aiutare? Vi dico grazie anticipatamente perché ci persi molto tempo qualche mese fa e non ho trovato in nessun libro o forum una spiegazione.


PS: se la discussione fosse troppo lunga posso aprirne un'altra. Però la domanda è davvero identica, quindi dimmi tu che sei il mod

[Martino]

Non capisco da dove venga tutta questa confusione. Basta che scrivi la dimostrazione che quei due insiemi sono uguali. Scrivila e vedrai che diventerà tutto chiaro.

[kaiz]

Ma sai che non ho capito proprio leggendo la dimostrazione.

La dimostrazione è quella che scrivevi tu¹:

A= {w∈W : ∃v∈V t.c. f(v)=w}; B={f(v) : v∈V}

Dimostriamo che A=B.

Prima inclusione: $A subseteq B$. Prendiamo $w in A$. Allora esiste $v in V$ tale che $f(v)=w$. Ma allora $w=f(v) in B$.

Seconda inclusione: $B subseteq A$. Prendiamo un elemento di $B$, questo sarà del tipo $f(v)$ per qualche $v in V$. Quello che dobbiamo fare è quindi mostrare che, dato $v in V$, si ha che $f(v) in A$. Sia quindi $w=f(v)$. È ovvio dalla definizione di $A$ che $w in A$.

e questa è più che chiara.

In tal modo io so che
${w∈W : ∃v∈V t.c. f(v)=w}={f(v) : v∈V}$

Il punto è che si interpreta ${f(v) : v∈V}$ come: "un elemento è in B se e solo se sarà del tipo f(v) per qualche v∈V" cioè "un elemento è in B se e solo se sarà del tipo f(v) t.c esiste v∈V".
(Per qualche è un esiste)

E io ci vedo comunque un esiste non un per ogni .

EDIT. la dimostrazione così tra l'altro è del tutto ovvia perché:
facciamo solo la seconda inclusione: $B subseteq A$. Prendiamo un elemento di $B$, questo sarà del tipo $f(v)$ tale che esiste $v in V$. Quello che dobbiamo fare è quindi mostrare che, data l'esistenza di $v in V$, si ha che $f(v) in A$. Sia quindi $w=f(v)$. È ovvio dalla definizione di $A$ che $w in A$. (è ovvio perché vogliono dire la stessa cosa: per essere elemento di A si richiede l'esistenza di v e v esiste perché è in B)

---

Note

1. come dicevo mi sono letto tutto tutto ↑

[megas_archon]

L'altro problema è che non c'è nessun "per ogni" nei vostri discorsi, ed è comprensibile essere confusi dal vedere qualcosa che in realtà non c'è.