Domanda di teoria sull'immagine

[nestor]

Ciao, vorrei riproporre un dubbio per cui non ho avuto aiuto, forse ho peccato di rendere lo scritto troppo lungo e volevo provare a ripostare, togliendo dal principio alcune domande e lasciandone UNA.

Vorrei basarmi su un esempio, una applicazione lineare, ma il dubbio è teorico e non di un esercizio.

Io so che per definizione
data $f: V->W$ ad esempio come matrice $L=((2,4),(1,2))$ (nel nostro caso avremo gli insiemi $V=RR^2=W$)
l'immagine è l'insieme così definito: $Im(f):={w in W : ∃v in V t.c f(v)=w}$

Mi trovo subito con una domanda, quando si vuole trovare l'immagine di L si procede così:

si prende un vettore qualsiasi di $R^2$ cioè $x in V$ (scrivo V perché più facile distinguere dominio e codominio così, invece di chiamarlo $RR^2$) e si applica $L$ a $x$: Lx, ottengo facendo i conti: $w:=(2x_1+4x_2,x_1+2x_2)$ e quindi si dice che $Im(L)={(2x_1+4x_2,x_1+2x_2) : x_1, x_2 in RR}$.

Ora, a me sembra di aver fatto questo procedimento:
- ho preso un qualunque (per ogni) vettore di V $v=x=(x1,x2)$
- ho trovato che $L(x)=w in W$.

Ma questo procedimento sfrutta un per ogni x e non un esiste x=(x1,x2) come richiede la definizione data; ho appunto usato un per ogni $vecx$ e mostro che ho un w da questo x tale che L(x)=w. Ma la definizione non chiede questo! Non capisco quindi come far tornare le cose.

Spero in qualche aiuto e ringrazio molto.

[megas_archon]

Infatti il tuo non è un "procedimento", è una maniera goffa di imporre la condizione per cui [l'applicazione lineare associata a] $L$ sia suriettiva.

Dico goffa soprattutto perché l'hai girata: la suriettività di $L$ dice che per ogni elemento $y$ del codominio esiste un elemento $x$ del dominio con la proprietà $Lx=y$. Tu invece hai scritto... qualcosa che non è nemmeno ben formato: cos'è $w$? Ti rendi conto che "per ogni $x$, $Lx=w$" significa gran poco? Trattando $w$ come una costante, questo significherebbe che $L$ è costante. Di certo non quello che vuoi, dato che, essendo $L$ lineare, può solo essere costante in 0 (perché deve mandare il vettore nullo in zero, e siccome è costante deve mandarci anche tutti gli altri).

Invece, determinare l'immagine di una applicazione lineare, scritta in una base opportuna, è molto semplice: prendi la matrice $L$, e determina qual è il sottospazio che le sue colonne generano.

[nestor]

Invece, determinare l'immagine di una applicazione lineare, scritta in una base opportuna, è molto semplice: prendi la matrice L, e determina qual è il sottospazio che le sue colonne generano.

sì, questo mi è chiaro. Ma infatti non è in questo procedimento il dubbio.

Il mio dubbio sorge perché l'esercizio è svolto come indicavo sopra, in molti esempi che trovo. E la cosa strana è che funziona e non capisco il motivo.
Inoltre non è tanto sulla suriettività, quanto su voler trovare l'insieme l'immagine, è qui che pongo la domanda.

Come dicevo la definizione di immagine è $Im(f):={w in W : ∃v in V t.c f(v)=w}$

E la soluzione proposta (non da me, ma da varie fonti) è questa:

si prende un vettore qualsiasi di $R^2$ cioè $x in V$ (scrivo V perché più facile distinguere dominio e codominio così, invece di chiamarlo $RR^2$) e si applica $L$ a $x$: Lx, ottengo facendo i conti: $w:=(2x_1+4x_2,x_1+2x_2)$ e quindi si dice che $Im(L)={(2x_1+4x_2,x_1+2x_2) : x_1, x_2 in RR}$.

mi sembra che anche tu condividi non essere molto corretto come metodo? Non ho capito se mi dai ragione.

Facendo come quotato, infatti:
- si prende un qualunque (per ogni) vettore di V $v=x=(x1,x2) in V=RR^2$
- si trova che che $L(x)=w in W$.

Ma così facendo a me pare che prendo un "qualunque" $x in V$, mentre la richiesta dice che "esiste" un x preso un $w in W $ per cui valga Lx=w. E' questo utilizzo del per ogni sul vettore x che mi manda in crisi in tutta onestà.


D'altra parte leggevo una risposta di un utente del forum, Martino, che non so se sia ancora attivo che forse fa al caso nostro e dice che

quando definisco l'insieme:

\( \displaystyle K = \{b : \exists a \in \mathbb{R} \hspace{.3cm} b=fa\} \)

vuol dire che l'elemento $g$ è in $K$ se e solo se esiste $a in RR$ tale che $g=fa$

che vuol anche dire due cose assieme:
1) Per ogni $g in K$ esiste $a in RR$ tale che $g=fa$.
2) Per ogni $a in RR$ si ha $fa in K$

e a sua volta scrivere $K={fa:a∈R}$

A me pare che rileggendola in questo modo io posso scrivere: $Im(f):={w in W : ∃v in V t.c f(v)=w}={f(v) in W|v in V}$ che si può quindi leggere come 2): per ogni $v in RR$ si ha $L(v)=f(v) in Im(f)$, e questo è esatttamente il procedimento nel primo dei miei due quote di questo messaggio, no?

[Martino]

Il motivo è che i due insiemi

${w in W\ :\ ∃v in V\ t.c.\ f(v)=w}$

${f(v)\ :\ v in V}$

sono uguali tra loro.

[nestor]

Ciao Martino.

Come ho scritto sopra nel mio messaggio, me ne sono reso conto solo ieri dopo molti giorni in cui la domanda era rimasta lì; cercando di capire a tutti i costi, ho letto ovunque e ho trovato appunto:

quando definisco l'insieme:

\( \displaystyle K = \{b : \exists a \in \mathbb{R} \hspace{.3cm} b=fa\} \)

vuol dire che l'elemento $g$ è in $K$ se e solo se esiste $a in RR$ tale che $g=fa$

che vuol anche dire due cose assieme:
1) Per ogni $g in K$ esiste $a in RR$ tale che $g=fa$.
2) Per ogni $a in RR$ si ha $fa in K$

e a sua volta scrivere $K={fa:a∈R}$

Era un caso che mi ha ricordato molto il mio e mi pare che riconfermi quello che intravisto. Il motivo è quello del quote giusto?

Vorrei però chiederti come dimostro che "il motivo è che i due insiemi sono uguali tra loro" che hai scritto come risposta ieri sera? Non capisco come sparisca il tale che e come mai siano in definitiva uguali. Credo dovrei sfruttare il quote ma non ho idee su come riadattarlo al mio caso.

[megas_archon]

Due insiemi sono "uguali" se ciascuno è un sottoinsieme dell'altro.

[Martino]

${w in W\ :\ ∃v in V\ t.c.\ f(v)=w}$

${f(v)\ :\ v in V}$

Prova a dimostrare che sono uguali, è facile. Non hai mai fatto esercizi in cui devi dimostrare che due insiemi sono uguali?

[nestor]

Certo, ma in questo caso ho:
$A={w in W\ :\ ∃v in V\ t.c.\ f(v)=w}$

$B={f(v)\ :\ v in V}$
i quali per me volevano dire la stessa cosa, ossia io avrei dimostrato l'uguaglianza scrivendo: appartenenza di elemento a 2 implica appartenenza a 1, infatti
$f(v) in B$ se e solo se esiste v t.c $f(v)=w$, ma questo equivale alla 1, infatti è paro-paro la richiesta perché appartenga ad A: $f(v)=w in A$.

Il viceversa è identico appartenenza 1=>2.

E in questi casi la doppia inclusione è piuttosto ovvia!

Invece qua mi sembra di star scoprendo che $B={f(v)\ :\ v in V}$ vuol dire "per ogni $v in V$ si ha $f(v)inB$"

EDITO: stavo rispondendo a megas_archon ma vedo che vale anche per l'ultimo consiglio.

[Martino]

Non ho capito (cerca di lavorare sulla chiarezza), ti sei convinto che sono uguali o no?

[nestor]

Ok, scusami. A caldo mi sembrava un discorso chiaro ma sono stato pasticcioso.

Mi spiego meglio, o meglio, prima credo di dover capire una cosa, quando scrivi: $B={f(v) : v∈V}$ tu come lo leggi?

Perché io lo leggevo come "un elemento g è in B se e solo se esiste v tale che g=f(v)", quindi non vi è alcuna differenza di lettura con quello che chiamavo A. Insomma l'inclusione vista così sarebbe ovvia e non c'è molto di dimostrare: è la stessa definizione degli elementi dell'insieme per $A={w∈W : ∃v∈V t.c. f(v)=w}$ (che leggo nello stesso modo).

Tuttavia, leggevo che $B={f(v) : v∈V}$ vuol invece dire due cose:
1) Per ogni b∈B esiste v∈V tale che b=f(v). [correzione]
2) Per ogni v∈V si ha f(v)∈B

se è questa seconda interpretazione va in effetti dimostrato. Credo la mia confusione nasca da qui per ora, poi posso ragionarci dopo che sono sicuro di cosa si intenda.