Domanda di teoria sull'immagine

[Martino]

Non so cosa rispondere dopo paginate di discussione siamo ritornati all'inizio, ci rinuncio.

[megas_archon]

Non so cosa rispondere dopo paginate di discussione siamo ritornati all'inizio, ci rinuncio.

Hai avuto un minuscolo assaggio del motivo per cui a un certo punto io ho iniziato a mangiare la faccia alle persone.

[kaiz]

Non so cosa rispondere dopo paginate di discussione siamo ritornati all'inizio, ci rinuncio.

Ma erano pagine in cui si era parlato d'altro . Ti giuro che mi sono letto tutto e io non credo proprio di aver letto una risposta a questa domanda. Mi puoi gentilmente segnalare il post dove la spieghi?
L'unico post che vedo è quello dell'OP che a un certo punto ha detto di essersi capito, e ha fatto una spiegazione iper arzigogolata che ha capito solo lui (non me ne voglia, senza offesa ma credo sia uno studente come me e i pensieri di una matricola non sono sempre lineari e infatti da esterno non si è capito un tubo del suo ragionamento)

L'unica risposta che ha avuto senso era

Il motivo è che i due insiemi

${w in W\ :\ ∃v in V\ t.c.\ f(v)=w}$

${f(v)\ :\ v in V}$

sono uguali tra loro.

a cui ho semplicemente replicato che ho capito la dimostrazione della doppia inclusione, ma non capisco perché risponda alla domanda, dato che

Il punto è che si interpreta ${f(v) : v∈V}$ come: "un elemento è in B se e solo se sarà del tipo f(v) per qualche v∈V" cioè "un elemento è in B se e solo se sarà del tipo f(v) t.c esiste v∈V".
(Per qualche è un esiste)

E io ci vedo comunque un esiste non un per ogni .

e ripeto nessuno l'ha mai detto in questa discussione, sarò scemo ma io non l'ho visto scritto.


Mi sembrava di esser stato chiaro nel mio espormi, non volevo farmi sfottere¹ o far incazzare nessuno

Comunque sono sincero, non volevo far polemica. E' una domanda che mi pongo da tempo e finalmente potevo avere risposta... ma a quanto pare non la troverò qui sul forum.

---

Note

1. Hai avuto un minuscolo assaggio del motivo per cui a un certo punto io ho iniziato a mangiare la faccia alle persone.

   come ho detto non sarò intelligente, ma volevo solo uscire dalla mia ignoranza in questa piccola parte di sapere. Non mi pare di aver detto che voglio aver ragione a tutti i costi, stavo solo chiedendo una spiegazione alle parole scritte. Non sto asserendo che il sole gira attorno alla terra e voglio convincerti di esser nel giusto. Secondo me a loro dovresti mangiare la faccia, non agli scemi che sanno di esser scemi e chinano il capo. Ma fai come ti pare. ↑

[Martino]

Se prendiamo un qualsiasi $x in V$, l'elemento $w = f(x) in W$ sta in $B$? Cioè esiste $v in V$ tale che $w=f(v)$? Sì, basta prendere $v=x$.

Ora, tutto questo vale per un $x$ qualsiasi, e quindi vale per ogni $x in V$.

[kaiz]

Ti ringrazio per esser stato gentile con me nel rispondermi. E' chiaro quello che hai scritto.
Purtroppo in precedenza mi ero intestardito a capire "un elemento è in B se e solo se sarà del tipo f(v) per qualche v∈V" e cercavo in ogni modo di far comparire un per ogni "un elemento è in B se e solo se sarà del tipo f(v) per ogni v∈V" non accorgendomi che non era questa la strada corretta. Ma potevo semplicemente dimostrarmi che con "l'esiste/per qualche" si verificava il valere per qualsiasi v, proprio come hai fatto tu. Non ci avevo pensato.


Nel corso della lettura di questo 3D ho letto con interesse questo:

$A={w∈W : ∃v∈V t.c. f(v)=w}$ si legge
a)"un elemento b è in A se e solo se esiste v tale che b=f(v)"

mentre scrivere: $A={f(v) : v∈V}$ vuol dire due cose assieme:
1) Per ogni b∈A esiste v∈V tale che b=f(v)
2) Per ogni v∈V si ha f(v)∈A

Si dimostri che le due formulazioni sono equivalenti: a <=> 1+2

di cui avete parlato e mi è anche chiara la dimostrazione esposta (di cui prendo solo la parte di mio interesse per la domanda):

Dimostraz.:
a implica 2
Prendo un qualsiasi $v in V$ e definisco $b=f(v)$, questo è fattibile per definizione di funzione che copre tutto il suo dominio che garantisce esista per ogni v un b di questo tipo. Sfrutto a questo punto la a) nella sua implicazione (<=) la quale mi garantisce che $b in A$ da cui $b=f(v)∈A$

notavo una cosa interessante. O almeno per me, ma sicuramente è una scemenza e l'utente mi mangerà la faccia .

La lettura numerata da voi come 2), della $A={f(v):v∈V}$ è valida solo se parliamo di funzioni.

Premessa: una funzione è una relazione $f$ tale che valga $forall v in V ∃!w in W : (v,w) in f$, dato che w dipende solo dalla relazione $f$ e $a$ in modo unico, allora ci permette di riscrivere: $forall v in V ∃!w in W : w=f(v)$

Considerazione (forse) interessante: se immagino ora di prendere una relazione $f$¹, quindi scelgo la relazione f come quel sottoinsieme del prodotto cartesiano che rispetti la condizione: $∃v : ∃!w t.c. (v,w) in f$ di nuovo l'unicità di $w$ ci permette di scrivere
$∃v : ∃!w : w=f(v)$

A questo punto posso definire l'insieme A e posso scriverlo senza grandi problemi come $A={f(v):v∈V}={w∈W : ∃v∈V t.c. f(v)=w}$ (d'altra parte è ovvio dato che è implicito che esiste v, per come ho preso f).

OSS: si nota però che ora la scrittura $A={f(v):v∈V}$ non è più possibile leggerla come 2) Per ogni $v∈V$ si ha $f(v)∈B$.
Infatti nella dimostrazione del quote non mi è più possibile definire per ogni $v$ una $b=f(v)$ (questo perché una relazione non copre per forza tutto il suo dominio e mi basta esista una v del dominio, non tutte le v).

Quello che volevo notare con questo discorso è che la scrittura $A={f(v):v∈V}$ è molto generale e vale anche per relazioni del tipo da me indicato, per cui sicuramente "esiste un v", tuttavia la lettura 2) con il per ogni è possibile solo e soltanto se parliamo di $f$ che siano funzioni e non generiche relazioni.

Voglio cioè far notare che "per ogni v∈V si ha f(v)∈B" non è tanto una proprietà della scrittura {f(v):v∈V} quanto piuttosto dovuto alla proprietà di una funzione di coprire tutto il dominio.

Mi sembra corretto vero?

Come vedete su queste cose ci ho ragionato molto, e utilizzo il forum solo con lo scopo (magari vano) di migliorarmi e non di trovare la risposta pronta. Finora, sebbene da poco qui, ho trovato ottimi spunti e mi spiace aver creato turbamento con il messaggio precedente.
Saluto così tutti i partecipanti a questa conversazione.

---

Note

1. ora f è una relazione non una funzione, e come tale non tutto il dominio è necessariamente coperto ↑

[Martino]

Sì quello che dici è corretto, ma osserva che qui stiamo parlando di funzioni fin dall'inizio dell'argomento.

Se invece della funzione $f$ hai un'arbitraria relazione $R subseteq V xx W$, le cose cambiano. L'immagine di $R$ è (che io sappia) di solito definita come l'insieme dei $w in W$ tali che esiste $v in V$ tale che $(v,w) in R$, e naturalmente qui non è detto che ogni $v in V$ appaia come prima componente di un elemento di $R$.

Chiamando $P$ (come "prima componente") l'insieme dei $v in V$ tali che esiste $w in W$ tale che $(v,w) in R$ e chiamando $S$ (come "seconda componente") l'insieme dei $w in W$ tali che esiste $v in V$ tale che $(v,w) in R$ (cioè $S$ è l'immagine di $R$), possiamo dire che per ogni $v in P$ e per ogni $w in W$ tale che $(v,w) in R$ abbiamo $w in S$. Inoltre $R subseteq P xx S$ e in generale $P ne V$. Tuttavia, se $R$ è una funzione, allora $P=V$.

PS. Non ti preoccupare, non hai creato nessun turbamento.

[kaiz]

Sì quello che dici è corretto, ma osserva che qui stiamo parlando di funzioni fin dall'inizio dell'argomento.

Certamente, quello era chiaro. il mio era solo un ragionamento ulteriore su questi fatti, per quanto riguarda le funzioni non ci sono dubbi. Era solo una domanda più generica interpellando le relazioni.

Volevo con il mio ragionamento notare che $A={f(v):v∈V}$ è possibile leggerlo come "per ogni v∈V si ha f(v)∈A", proprio grazie alla proprietà di f di essere funzione (che quindi copriva tutto l'insieme di partenza/dominio). Nulla più .

Tutto il resto che dici mi è MOLTO chiaro e direi che ho capito tutto.

Solo una piccola domanda per chiudere felicemente l'argomento:
come scrivi tu l'immagine di R relazione, io l'ho chiamata f ma era un nome arbitrario e non voleva in alcun modo richiamare le funzioni, è definita come l'insieme dei w∈W tali che esiste v∈V tale che (v,w)∈R.
Chiarito ciò, analogamente a una funzione che è definita come una relazione che rispetta la proprietà $∀v∈V∃!w∈W : (v,w)∈f$
io posso decidere di dire che ho una relazione che rispetta $∃v:∃!w : (v,w)∈R$, giusto?
Perché mi pare corretto ma non ero certissimo di questo "passaggio mentale" però mi interessava farlo per poter definire, grazie al fatto che w dipende solo dalla relazione "R" e da "a" in modo unico $∃v:∃!w : w=R(v)$.
Definire una relazione di questo tipo mi era in particolare comodo perché mi permetteva di scrivere al pari delle funzioni l'insieme $A={R(v):v∈V}$ e fare le osservazioni di cui sopra per cui in questo caso non si aveva il "per ogni".

PS. Non ti preoccupare, non hai creato nessun turbamento.

ti ringrazio di nuovo e scusate se sono stato rompiballe, ma era una domanda che mi ero posto e ritrovandola mi era tornata alla mente. Direi che finalmente dopo mesi rimasta nel cassetto l'ho eviscerata a dovere .

[Martino]

analogamente a una funzione che è definita come una relazione che rispetta la proprietà $∀v∈V∃!w∈W : (v,w)∈f$
io posso decidere di dire che ho una relazione che rispetta $∃v:∃!w : (v,w)∈R$, giusto?
Perché mi pare corretto ma non ero certissimo di questo "passaggio mentale" però mi interessava farlo per poter definire, grazie al fatto che w dipende solo dalla relazione "R" e da "a" in modo unico $∃v:∃!w : w=R(v)$.
Definire una relazione di questo tipo mi era in particolare comodo perché mi permetteva di scrivere al pari delle funzioni l'insieme $A={R(v):v∈V}$ e fare le osservazioni di cui sopra per cui in questo caso non si aveva il "per ogni".

Qui non capisco. L'ipotesi di cui parli

(*) $∃v:∃!w : (v,w)∈R$

è debolissima e non ti permette di trattare $R$ come una funzione. L'ipotesi (*) sta solo dicendo che esiste un certo $v$ tale per cui esiste un unico $w$ con $(v,w) in R$. Ipotesi debolissima, capisci? Usando questa ipotesi puoi parlare di $R(v)$ per questo elemento $v$ particolare ma non per tutti gli altri elementi.

Per poter scrivere $R(v)$ per un qualsiasi $v in V$ ti serve che $R$ sia una funzione.

[kaiz]

Nono aspetta, non volevo dire che $R(v)$ fosse una funzione. L'esatto contrario: volevo che l'oggetto $(v,w)$ appartenente a una relazione $(v,w)∈R$ avesse l'elemento $w$ che potesse unicamente dipendere da $v$ e dalla relazione stessa. Dato che ho una dipendenza unica da R e da v posso definire una notazione $R(v)=w$¹ che non è certo una funzione sotto l'ipotesi (*)! Vuole solo significare che $R(v)$ determina in modo unico un $w$ però con la proprietà di non coprire tutto il dominio $V$. Cioè quello che volevo fare era avere un oggetto $R(v)$ tale che non per ogni $vin V$ avesse una immagine. Ora proprio per questa debolezza dell'ipotesi che chiami (*) io posso definire R(v)=w solo per certi v. E in questo modo curiosamente notavo che $A={R(v):v∈V}$ si poteva ancora scrivere, ma non poteva più leggersi come "per ogni", venendo proprio a mancare di alcuni $v$ coperti nel dominio.

In definitiva la mia idea malata era solo poter notare che $A={R(v):v∈V}$ non poteva leggersi come "per ogni" nel momento in cui R(v) non era una funzione, proprio per la mancanza della copertura di tutto il dominio di una eventuale R(v) siffatta.

---

Note

1. questo perché in algebra ricordo che mi era stato spiegato dal Prof. che la notazione f(a)=b per le funzioni era possibile proprio per via del fatto che c'era questa unicità ↑

[Martino]

Ma se $R(v)$ non è definito per ogni $v in V$ allora non ha senso scrivere ${R(v)\ :\ v in V}$.