Vi propongo la versione "potenziata" di un problema che mi è capitato di affrontare nel corso delle mie ricerche sulla velocità di congruenza della tetrazione, ma che credo sia interessante di per sé (questo risultato è già stato dimostrato, sia per conto mio che in modo indipendente, quindi vi inviterei a prenderlo come un esercizio mediamente impegnativo di teoria dei numeri e provarci per conto vostro senza cercare la risposta online ).
PROBLEMA: \(\DeclareMathOperator\len{len}\) Si consideri il comune sistema di numerazione decimale. Siano \(a, b \in \mathbb{N} -\{ 0, 1 \}\); inoltre definiamo \({^{b}a}\) essere \(a^a\) se \(b = 2\) e \(a^{\left(^{b-1}a \right)}\) se \(b \geq 3\) (per esempio, \({^{3}5} = 5^{\left( 5^5 \right)} = 5^{3125})\).
In aggiunta, poniamo \(\len({^{b}a}) := \lfloor{\log_{10} (^{b}a) }\rfloor + 1\) così da poter indicare in modo compatto il numero delle cifre di \({^{b}a}\) (per capirci, se abbiamo che \(a=5\) e \(b=2\), allora risulta \(\len({^{2}5}) = \len(3125) = 4)\).
DOMANDA: Dimostrare rigorosamente che \({^{b}a} \equiv {^{b+1}a \pmod {10^{\len({^{b}a})}}}\) solo se \(a=5\) (si noti che \(a=5\) è chiaramente una soluzione valida, giacché \({^{2}5} \equiv {^{3}5} \pmod {10^4})\).
Buon divertimento e buona matematica a tutti!
N.B. Ho ridefinito la tetrazione intera, imponendo che abbia un'altezza almeno pari a \(2\), perché altrimenti avremmo infinite soluzioni (tutte quelle date dalla sequenza A082576 della OEIS - cfr. https://oeis.org/A082576 – depurata del suo primo termine!).
P.S. Ho eliminato un'ambiguità formale nella domanda (riscrivendola come \({^{b}a} \equiv {^{b+1}a \pmod {10^{\len({^{b}a})}}} \Rightarrow a=5\)) in seguito al dubbio avanzato dall'utente @megas_archon, che ringrazio per la precisazione (ho lasciato comunque l'esempio, anche se non più necessario, per facilitarne ulteriormente la comprensione).