Dimostrare che $2^(1/n)$ non è razionale

[klarence]

Sto preparando un esame orale e mi serve la dimostrazione che dice che $2^(1/n)$ con $n in Z$ e $n>1$ non è un numero razionale... io da solo non ci sono arrivato.
Qualcuno potrebbe gentilmente dirmela , o , altrimenti, darmi un aiuto?

[alvinlee88]

Beh, è analoga alla dimostrazione di Euclide dell'irrazionalità di $sqrt2$, credo. Supponiamo per assurdo che $2^(1/n)$ sia razionale, ciò vuol dire che può essere espresso come rapporto di due interi coprimi, cioè $2^(1/n)=p/q -> q^n*2=p^n$, quindi $p^n$, e quindi $p$, è pari, cioè $p=2k$. Sostituendo, otteniamo che $2q^n=4k^2 ->q^n=2k^n$, cioè $q^n$ e quindi $q$ è pari. Assurdo per la comprimalità di $p$ e $q$.

p.s. Bon per te che pensi già all'orale, io devo ancora fare lo scritto...

[klarence]

Ok forse ci sono arrivato :
diciamo per assurdo che $2^(1/n)=p/q$ con $p,q in Z$ e ridotti ai minimi termini.
Eleviamo sia il membro a destra che quello a sinistra alla n e quindi viene:

$2=(p/q)^n$ ----> assurdo perchè per ipotesi $(p,q)=1$ e quindi $p^n/q^n$ non sarà mai un numeri intero.

Alvin grazie per la tua dimostrazione. Puoi vedere se la mia fila?

Grazie.

[Dorian]

Ricordato che $2^(1/n)$ = radice n-esima di 2, la dimostrazione è sulla falsariga di quella dell'irrazionalità di $sqrt(2)$...

[alvinlee88]

Alvin grazie per la tua dimostrazione. Puoi vedere se la mia fila?

Grazie.

Mi sembra di si
ciao e in bocca al lupo con bobo!!!