Esercizio di algebra di Galois e non solo

[mattiaBICOCCA]

Consideriamo il corpo dei quaternioni $H= R+i.R+j.R+k.R$ (con R non intendo un anello generico, ma il campo dei reali ) con tutte le sue varie proprieta' cioe' che

$ i^2 = j^2 = k^2 = -1$

$ ij = k , jk = i , ki= j$

$ ji= -k, kj = -i , ik = -j $

Si provi che $Q_8 = < 1 , -1 , i , j , k>$ e' un gruppo di ordine 8 e che $[Q_8,Q_8] = { +1 , -1 } = Z(Q_8)$ = $2-Sylow di SL_2 (3)$
Dove Z e' il centro.