Moduli

[ficus2002]

Sia $M$ un $R$-modulo sinistro con $R$ anello dotato di unità. Sia $E$ un sottoinsieme di $M$ di elementi linearmente indipendenti (cioè $r_1 e_1 + \cdots + r_k e_k = 0$ con $r_k\in R$ e $e_k\in E$ implica $r_k=0$ per ogni $k$).
Sia $N$ un'altro $E$ modulo ed $f:E\to N$ applicazione.
Mi chiedo: esiste sempre un omomorfismo di moduli $g:M\to N$ che estende $f$ (cioè se chiamo con $i:E\to M$ l'inclusione canonica ho $g\circ i=f$)?

[Chevtchenko]

Sia $M$ un $R$-modulo sinistro con $R$ anello dotato di unità. Sia $E$ un sottoinsieme di $M$ di elementi linearmente indipendenti (cioè $r_1 e_1 + \cdots + r_k e_k = 0$ con $r_k\in R$ e $e_k\in E$ implica $r_k=0$ per ogni $k$).
Sia $N$ un'altro $E$ modulo ed $f:E\to N$ applicazione.
Mi chiedo: esiste sempre un omomorfismo di moduli $g:M\to N$ che estende $f$ (cioè se chiamo con $i:E\to M$ l'inclusione canonica ho $g\circ i=f$)?

Direi di no: prendiamo $M = QQ$, $N = ZZ$, visti come $ZZ$-moduli, e sia $g : M \to N$ un qualunque $ZZ$-omomorfismo. Si ha $g(x) = n g(x/n)$, per ogni $x \in QQ$ e per ogni intero $n \ne 0$; ma $ZZ$ non è divisibile, quindi $g = 0$. E allora se $E = {1}$ e $f: E \to N$ è definita da $f(1) = 1$, non esiste alcun $g$ che prolunghi $f$.

[ficus2002]

Direi di no: prendiamo $M = QQ$, $N = ZZ$, visti come $ZZ$-moduli, e sia $g : M \to N$ un qualunque $ZZ$-omomorfismo. Si ha $g(x) = n g(x/n)$, per ogni $x \in QQ$ e per ogni intero $n \ne 0$; ma $ZZ$ non è divisibile, quindi $g = 0$. E allora se $E = {1}$ e $f: E \to N$ è definita da $f(1) = 1$, non esiste alcun $g$ che prolunghi $f$.

Grazie, come sopettavo: quindi da ciò dovrebbe seguire che un sottomodulo libero di un modulo non è necessariamente addendo diretto.

[Chevtchenko]

Direi di no: prendiamo $M = QQ$, $N = ZZ$, visti come $ZZ$-moduli, e sia $g : M \to N$ un qualunque $ZZ$-omomorfismo. Si ha $g(x) = n g(x/n)$, per ogni $x \in QQ$ e per ogni intero $n \ne 0$; ma $ZZ$ non è divisibile, quindi $g = 0$. E allora se $E = {1}$ e $f: E \to N$ è definita da $f(1) = 1$, non esiste alcun $g$ che prolunghi $f$.

Grazie, come sopettavo: quindi da ciò dovrebbe seguire che un sottomodulo libero di un modulo non è necessariamente addendo diretto.

Certo, e d'altra parte lo si vede, più direttamente, osservando che $ZZ$, che è libero, è sottomodulo di $QQ$, ma non ne è addendo diretto, in quanto un addendo diretto di $QQ$ deve essere divisibile.