Sottogruppi di $ZZ_24$

[squalllionheart]

Salve rega, voglio delle conferme.
I sottogruppi non banali di $ZZ_24$ sono $ZZ_2$,$ZZ_3$,$ZZ_4$,$ZZ_6$,$ZZ_12$?

[Manugal]

Si, da quel che mi ricordo della teoria dei gruppi in generale i sottogruppi non banali di $ZZ_n$ sono tutti i divisori di n.

[gugo82]

Salve rega, voglio delle conferme.
I sottogruppi non banali di $ZZ_24$ sono $ZZ_2$,$ZZ_3$,$ZZ_4$,$ZZ_6$,$ZZ_12$?

Quando parli di $ZZ_24$ ti riferisci al gruppo $(ZZ_24, +)$ oppure al monoide $(ZZ_24, *)$ oppure a qualche altra struttura più esotica che abbia come sostegno $ZZ_24$?

Squall, devi imparare che una struttura algebrica non è identificata univocamente dal suo sostegno: in tutti i tuoi post recenti commetti sempre questo stesso errore.

[squalllionheart]

Gugo hai ragione.
Il sostegno è la somma $(ZZ_24,+)$
La mia idea sarebbe quella che i gruppi del tipo $ZZ_n$ con $n$ che divide $24$ siano dei sottogruppi quindi $ZZ_n$ con $n=1,2,3,4,6,8,12,24$.
Ma questi nn sono tutti. Mancano anche quelli gli insiemi del tipo $H=(0,12)$, $K=(0,8,16) $, $I=(0,6,12,18)$ ,$M=(0,4,8,12,16,20)$ $N=(0,2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22)$ credo che anche questi siano sottogruppi di $ZZ_24$ rispettano il teorema di Lagrange e il fatto di avere elemento neutro e elemento inverso per ogni elemento nn nullo.Sono tutti o manca qualcosa?Grazie e spero a presto.
Che dite va bene. Mi raccomando correggetemi.Grazie

[gugo82]

Ecco, proprio qui ti volevo portare.

Come fai a dire che $ZZ_2={bar0,bar1}$ è un sottogruppo di $(ZZ_24, +)$ se $bar1$ genera tutto il gruppo?

Al massimo puoi dire che esiste un sottogruppo ciclico di $ZZ_24$ d'ordine 2 che è isomorfo a $(ZZ_2, *)$ (tale sottogruppo è quello che ha sostegno ${bar0,bar(12)}$ come puoi vedere imediatamente, perchè $bar12$ è l'unico elemento di $(ZZ_24, +)$ ad avere periodo 2 essendo $2*bar12=bar0$).

[squalllionheart]

Ma allora quali sono TUTTI i sottogruppi di $ZZ_24$?

[gugo82]

Ma allora quali sono TUTTI i sottogruppi di $ZZ_24$?

Non sono un algebrista quindi non so se c'è un modo semplice e veloce per calcolare tutti i sottogruppi di $ZZ_24$, però puoi sempre procedere a mano, tanto la struttura additiva è facilmente manipolabile.

Ad esempio, scartati i sottogruppi banali, hai:

1 sottogruppo di ordine due, cioè ${bar0,bar12}= [bar12]$;

1 sottogruppo d'ordine tre, cioè ${bar0,bar8,bar16} = [bar8] = [bar16]$;

1 sottogruppo d'ordine quattro, cioè ${bar0,bar6,bar12,bar18} = [bar6] = [bar18]$;

1 sottogruppo d'ordine sei, cioè ${bar0, bar4, bar8, bar12, bar16, bar20} = [bar4] = [bar20]$;

1 sottogruppo d'ordine otto, cioè ${bar0, bar3, bar6, bar9, bar12, bar15, bar18, bar21} = [bar3] = [bar9] = [bar15] = [bar21]$;

1 sottogruppo d'ordine dodici, cioè ${bar0, bar2, bar4, bar6, bar8, bar10, bar12, bar14, bar16, bar18, bar20, bar22}= [bar2]$ (ci sono altri generatori ma mi scoccia scriverli! ).

I sottogruppi che ho calcolato sono unici per il seguente teorema:

Sia $G$ un gruppo ciclico finito d'ordine $m$.
Per ogni divisore $d$ di $m$, esiste un unico sottogruppo $H$ di $G$ avente ordine $d$.

[squalllionheart]

Scusami Guro ma nn sono gli stessi che ti avevo scritto???

[gugo82]

Se ti riferisci al post:

Gugo hai ragione.
Il sostegno è la somma $(ZZ_24,+)$.
La mia idea sarebbe quella che i gruppi del tipo $ZZ_n$ con $n$ che divide $24$ siano dei sottogruppi quindi $ZZ_n$ con $n=1,2,3,4,6,8,12,24$.
Ma questi nn sono tutti. Mancano anche quelli gli insiemi del tipo $H=(0,12)$, $K=(0,8,16) $, $I=(0,6,12,18)$ ,$M=(0,4,8,12,16,20)$ $N=(0,2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22)$ credo che anche questi siano sottogruppi di $ZZ_24$ rispettano il teorema di Lagrange e il fatto di avere elemento neutro e elemento inverso per ogni elemento nn nullo.Sono tutti o manca qualcosa?Grazie e spero a presto.

semplicemente l'avevo dimenticato!

Ora veniamo al sodo.
I sottogruppi non banali di $(ZZ_24, +)$ (per la cronaca, in una struttura algebrica $(A, tau_1,\ldots, tau_n)$, l'insieme $A$ si chiama sostegno della struttura mentre le $tau_1,\ldots,tau_n$ sono operazioni) sono tutti e soli quelli che ho elencato nel mio post precedente a norma del teorema che ho citato. Nel tuo post riportato qui sopra manca il sottogruppo d'ordine sei.

Come ti ho fatto notare le strutture $(ZZ_d, +)$, con $d|m$ e $d!=1,m$, non possono essere sottogruppi di $(ZZ_24,+)$, giacché essi contengono l'unità $bar1$ che genera $ZZ_24$ ($ZZ_24=[bar1]$ perchè sei in struttura additiva!).

[squalllionheart]

E qui casca l'asino, anzi casca Squall!!!Ecco l'errorone. Grande guru. Capito. Bravo e grazie!