Ideali

[marco1988]

Ciao a tutti.Non so se sia la sezione giusta comunque posto lo stesso.Se quoziento l'anello dei polinomi a coefficenti in Z rispetto all'ideale generato da x ottengo un dominio giusto?? Ma l'ideale generato da x non è un ideale massimale e di conseguenza non dovrei ottenere un campo? Grazie mille

[rubik]

se non sbaglio l'ideale $(x,2)$ ad esempio contiene quello generato da x che quindi non è massimale

[Martino]

Credo che la confusione sia legata al fatto seguente: dato un U.F.D. A, non è vero in generale che se $a \in A$ è irriducibile allora l'ideale $(a)$ di A è massimale. Ciò per contro è vero se A è un P.I.D.

E se A è un anello commutativo, A[X] è un P.I.D. se e solo se A è un campo.

PS: 666-esimo messaggio

[marco1988]

scusa l'ignoranza ma non capisco le abbreviazioni..me le puoi mica esplicitare? grazie mille per al pazinza

[Martino]

U.F.D. = Unique Factorization Domain = Dominio a Fattorizzazione Unica. Si tratta di un dominio di integrità A (ovvero un anello commutativo in cui se un prodotto è nullo allora uno dei fattori è nullo) in cui ogni elemento non nullo si scrive come prodotto di un numero finito di elementi irriducibili (un elemento irriducibile è un elemento non invertibile x tale che se x=ab con a e b nell'anello allora uno tra a e b è invertibile) e di un opportuno elemento invertibile u, e questa fattorizzazione è unica a meno di cambiare l'elemento invertibile u e a meno dell'ordine (per commutatività).

P.I.D. = Principal Ideal Domain = Dominio a Ideali Principali. Si tratta di un dominio di integrità A tale che se I è un qualunque ideale di A, allora esiste un elemento a di I tale che $I=(a)=\{ax\ |\ x \in A\}$.

Ogni P.I.D. è un U.F.D., ma non è vero il viceversa. Per esempio $ZZ[X]$ è un U.F.D. ma non è un P.I.D.

[pikkio]

marco è corretto quello che dici. il quoziente tra un anello (anche senza unità) ed un ideale principale è un dominio di integrità. non è un campo perchè $(x)$, inteso come ideale di $ZZ[x]$ non è massimale.

ciao!

[miuemia]

in generale se $A$ è un anello commutativo unitario e $J$ un suo ideale.

1)$A//J$ è campo se e solo se $J$ è massimale.

2)$A//J$ è dominio d'integrità se e solo se $J$ è primo.

quindi vale che massimale $=>$ primo...ma non il viceversa!!!!!!!!!!!!!!

[Martino]

in generale se $A$ è un anello commutativo unitario e $J$ un suo ideale.

1)$A//J$ è campo se e solo se $J$ è massimale.

2)$A//J$ è dominio d'integrità se e solo se $J$ è primo.

quindi vale che massimale $=>$ primo...ma non il viceversa!!!!!!!!!!!!!!

Esatto! Ma bisogna stare attenti ad una cosa: in un U.F.D. ogni ideale massimale è primo, ogni elemento primo è irriducibile, ma non è vero che ogni ideale primo è massimale, né che l'ideale generato da un elemento irriducibile è massimale.

Lo dico perché tempo fa ho avuto molta confusione in merito