scomposizione polinomio in fattori irriducibili

[fctk]

ciao,

non riesco a scomporre in fattori irriducibili il polinomio $a(x)=10x^4-7x^3+1$ nell'anello di polinomi $\mathbb{Z}_3[x]$.

vi dico cosa ho provato a fare: per prima cosa ho riscritto meglio i coefficienti del polinomio ottenendo $a(x)=[1]_3x^4+[2]_3x^2+[1]_3$. poi ho posto $t=x^2$ ottenendo $b(x)=[1]_3t^2+[2]_3t+[1]_3$. a questo punto, se fossi in $R[x]$, effettuerei la scomposizione $b(x)=(t-1)^2$ ma non credo che tale passaggio sia lecito anche in $\mathbb{Z}_3[x]$. come posso procedere a questo punto?

grazie.

[Lord K]

Osserva che in prima battuta:

$a(x)=10x^4-7x^3+1 = [1]_3*x^4-[1]_3*x^3+1$

poi mediante il piccolo teorema di Fermat $x^3-=x mod3$

$a(x)-= x^4-x^3+1-= x^2-x+1-= x^2+2x+1 -= (x+1)^2 mod 3$

Da cui vediamo che l'unica radice possibile è $2(3)$. Avremo che:

$a(x)= (x+1)(x^3+x^2-x+1)$

da qui vediamo che:

$x^3+x^2-x+1-= x^2+1 mod3 $

ovvero che è un polinomio irriducibile. La scomposizione è dunque terminata.

[fctk]

scusa se ho fatto un po' di confusione, ma il polinomio da scomporre in $\mathbb{Z}_3[x]$ era $a(x)=10x^4-7x^2+1$. stavolta ho fatto le seguenti considerazioni: innanzitutto lo riscrivo come $a(x)=x^4+2x^2+1$ quindi lo scompongo come $a(x)=(x^2+1)^2$. è corretto il procedimento?

il testo del problema richiede poi la scomposizione anche in $\mathbb{Z}_7[x]$: in questo caso riscrivo il polinomio come $a(x)=3x^4+1$, poi pero' non sono in grado di proseguire ulteriormente. è giusto fermarsi qui?

grazie ancora.

[Lord K]

Consideriamo allora il polinomio:

$a(x)=3x^4+1$

e riscriviamolo così:

$a(x)=1-4x^4=(1-2x^2)(1+2x^2)$

Da qui osserviamo che i polinomi:

$a_1(x)=1-2x^2=0(7)$
$ x^2-=2^(-1)(7) $
$x^2-=4(7)$

ed anche qui la soluzione è per $x=2(7)$ e $ x=5(7)$ infatti:

$a_1(x)=1-2x^2=(x+5)(3-2x)$

mentre per:

$a_2(x)=1+2x^2$
$ x^2-=5^(-1)(7) $
$x^2-=3(7)$

che non ha soluzione poichè:

$(3/7)=3^((7-1)/2)=27-=-1(7)$

che implica che $3$ non è residuo quadratico di $7$

La scomposizione è dunque:

$ a(x)=3x^4+1=(x+5)(3-2x)(1+2x^2)$

[Lord K]

scusa se ho fatto un po' di confusione, ma il polinomio da scomporre in $\mathbb{Z}_3[x]$ era $a(x)=10x^4-7x^2+1$. stavolta ho fatto le seguenti considerazioni: innanzitutto lo riscrivo come $a(x)=x^4+2x^2+1$ quindi lo scompongo come $a(x)=(x^2+1)^2$. è corretto il procedimento?

E' corretto il prcedimento!

Tieni conto però che poi $x^2+1$ può essere scomponibile, soprattutto se $(-1/p)-=1(p)$.

Nel tuo caso $(-1/3)-=-1(3)$ esclude ulteriori scomposizioni.

[fctk]

ok ora credo di aver capito! grazie tante per il tuo aiuto!

[Lord K]

Di nulla!