Fattorizzazione LR (calcolo numerico).

[Vagn]

Ciao ragazzi. Spero che qualcuno sia ferrato di calcolo numerico, in quanto ho un problema per calcolare la fattorizzazione LR. Chiedo aiuto a voi in quanto, riguardo questo particolare argomento, ho degli appunti sprecisi e al momento non posso procurarmeli. Ho cercato pure in Internet, ma ci capisco poco.

Vi linko il foglio scannerizzato scritto dal professore, con il quale poi fa la lezione:

http://www2.ing.unipi.it/~d8363/esami/CalcNum_07-08/Lezione_22-23.pdf .

Come vedete sulla pagina di sinistra, verso la metà, accenna le fattorizzazioni LR e QR. Dopodichè, sulla destra, fa un mezzo esempio di come si usi la fattorizzazione LR. Il problema è che io capisco sempre di più con esempi numerici, e poco dalla teoria .. Se ci fosse qualcuno in grado di spiegarmi i pasaggi 1) e 2) [magari usando la stessa matrice di sopra] gliene sarei grato. in sintesi mi vien difficile capire come si ricavi H1 e H2 ..


Grazie.

[Megan00b]

Non è molto chiaro...si legge appena. Comunque se ho capito si tratta di quella che io chiamo fattorizzazione LU e generalmente conosciuta come metodo di eliminazione gaussiana.
Prova a guardare questo.
http://www.mat.uniroma3.it/users/ferret ... node2.html
Se poi hai difficoltà le vediamo.

[Vagn]

Scusate l'ignoranza, ma finchè non capisco il ragionamento è inutile ..

Allora: quel che ho capito ..

Supponiamo di partire da una matrice A, di cui io voglio determinare la fatt. LR usando la procedura di Eliminazione di Gauss.

Questa la matrice:

$((1,2,1),(1,4,0),(1,6,0))$ ;



che cosa mi dice la fattorizzazione LR? Che, avendo una matrice A, posso riscriverla nella suddetta forma A=SD, con S triangolare inferiorire con gli elementi Skk=1, e D triangolare superiore.

Quindi:


$((1,2,1),(1,4,0),(1,6,0))$ = $((1,0,0),(S21,1,0),(S31,S32,1))$$((D11,D12,D13),(0,D22,D23),(0,0,D33))$ .



Ora che dovrei fare? Usare l'eliminazione di Gauss? Mi fate 2 o 3 passaggi usando i numeri VERI di 'sta matrice, e non lettere .. perchè sono tonto e capiscono solo con gli esempi. Il tuo link parla di sostituzione all'indietro, un es.?



p.s. Megan, vengo anche io a Pisa: ho da dare Calcolo Numerico col Ciampa M. Se fai ingegneria può darsi lo conosci.

p.p.s. Magari il Ciampa sei te.

[Megan00b]

Non sono il Ciampa e soprattutto non faccio ingegneria! Ciampa lo conosco di nome da amici ingegneri ma lui sta al dma, praticamente dall'altra parte di via buonarroti rispetto a noi.
Allora per fare la fattorizzazione LU di una matrice A (dando per scontato che sia possibile) si usano vari metodi. Il più semplice è il metodo di Gauss che riferito al sistema lineare associato alla matrice prende il nome di eliminazione gaussiana.
La fattorizzazione secondo il metodo di Gauss funziona così:
ci sono n-1 passi (dove n è l'ordine di A); al primo passo moltiplichi la matrice A per una matrice elementare $((1,,,),(-m_(21),1,,),(vdots,,ddots,),(-m_(n1),,,1))$ dove $m_(i1)=a_(i1)/a_(11)$. Fare questa moltiplicazione di matrici vuol dire in altre parole sommare a ciascuna i-esima riga eccetto la prima l'i-esima riga meno la prima moltiplicata per $a_(i1)$ e divisa per $a_(11)$.
Ciò che ottieni è la matrice $A^((1))$ che ha la prima colonna tutta nulla eccetto il primo elemento.
Al secondo passo moltiplichi $A^((1))$ per la matrice elementare $((1,,,,),(,1,,,),(,-m_(32),1,,),(,vdots,,ddots,),(,-m_(n2),,,1))$ dove $m_(i2)=a_(i2)^((1))/a_(22)^((2))$.(occhio sto prendendo gli elementi della matrice $A^((1))$ e non di A). Anche stavolta stai sostituendo ad ogni i-esima riga eccetto prima e seconda la stessa i-esima riga meno la seconda moltiplicata per $m_(i2)$.
Facendo n-1 volte questo procedimento vedi che l'ultima matrice che ottieni $A^((n-1))$ è triangolare superiore ed è la prima delle due che volevi ottenere.
La seconda la ottieni moltiplicando nell'ordine inverso a come le hai usate le matrici elementari, il cui prodotto appunto è una matrice triangolare inferiore con elementi principali tutti 1.

Nel caso della tua matrice:
$A=((1,2,1),(1,4,0),(1,6,0))$
La prima matrice elementare è
$E^((1))=((1,,),(-1,1,),(-1,,1))$
Quindi:
$A^((1))=((1,2,1),(,2,-1),(,4,-1))$
Al secondo passo la matrice elementare è:
$E^((2))=((1,,),(,1,),(,-2,1))$
Moltiplicando ottieni:
$A^((2))=((1,2,1),(,2,-1),(,,-3))$
Ti fermi perchè hai fatto n-1 passi (2 passi) e la matriche che hai ottenuto è proprio triangolare superiore.
Per quanto riguarda la triangolare inferiore, questa la ottieni moltiplicando $E^((2))E^((1))$ cioè le matrici elmentari nell'ordine inverso a cui le hai usate..

[Vagn]

In questo momento ti voglio abbastanza bene.

[Megan00b]

Devo preoccuparmi?!

[Vagn]

Ti ringrazio ancora. Ho fatto parecchi esercizi stamane, e più o meno mi son tornati. Ho notato però che se l'Eliminazione di Gauss termina su A .. il det A[k] è diverso da 0 per le K = 1 , .. , n-1 . O qualcosa del genere. Spero che la conclusione sia giusta, non ho appunti a riguardo e non vorrei dire una cazzata al prof.

[lore]

Se A[k] è la sottomatrice principale di ordine k, hai detto giusto.

[Megan00b]

più che altro è il contrario, nel senso che se le matrici A[k] principali di testa di A sono non singolari allora il metodo "termina". In generale il metodo termina (nel senso che si può applicare) ad qualsiasi matrice usando pivoting o ignorando i passi banali, ma in quel caso perdi l'unicità della fattorizzazione.

[lore]

più che altro è il contrario, nel senso che se le matrici A[k] principali di testa di A sono non singolari allora il metodo "termina"

Vale il se e solo se.

. In generale il metodo termina (nel senso che si può applicare) ad qualsiasi matrice usando pivoting o ignorando i passi banali, ma in quel caso perdi l'unicità della fattorizzazione.

Che intendi per passi banali?