permutazione

[fctk]

ciao,

non so come risolvere il seguente esercizio:

data la permutazione $a=((1,2,3,4,5),(2,4,5,1,3))$ dire se:

i) $a$ ha periodo $5$
ii) $a^{-2}=a^4$
iii) $a^{12}(3)=5$
iv) $a$ è dispari

[Megan00b]

Applicando le definizioni... che dovresti aver studiato prima di fare l'esercizio.
I punti ii) e iii) devi solo fare i conti.
Al punto i) devi verificare che $a^5$=identità (non so come la indichi)
Per il punto iv)... io mi rifarei al punto i) ricordando un importante risultato sulle trasposizioni (=permutazioni che scambiano 2 elementi e fissano gli altri).

[adaBTTLS]

non conosco esattamente la terminologia, però puoi osservare che la permutazione si può scrivere come prodotto di due cicli, uno di ordine tre, uno di ordine due: $a=(124)(35)$, per cui ... solo la ii) mi sembra corretta, perché il periodo dovrebbe essere 6 e $a^(2k)(3)=3$. spero di non aver detto sciocchezze. ciao.

[fctk]

allora ho provato a risolvere l'esercizio nel seguente modo:
ii) calcolo $a^{-1}$, calcolo $a^{-2}$=$a^{-1}a^{-1}$, calcolo $a^2=aa$, calcolo $a^4=a^2a^2$ e vedo che $a^{-2}=a^4$
iii) calcolo $a^12=a^4a^4a^4$ e poi vedo che $a^12(3)=3$
iv) scompongo $a$ come $a=(14)(12)(35)$ e dico che è dispari
i) calcolo $a^5$ prima come $a^4a$ poi come $aa^4$, vedo che $a^4a=aa^4$, e vedo che $a^5$ non è l'identità, per cui il suo periodo non è $5$

credo che a questo punto l'esercizio l'abbia fatto in modo corretto, però non sono certo di averlo fatto nel modo più veloce e semplice possibile... c'è per caso qualche scorciatoia che non ho applicato? grazie ancora.

[Megan00b]

ii) va bene
iii) non serve. se $a^(-2)=a^4$ allora $id=a^6$ quindi a ha ordine 1,2,3 o 6. Quindi a^12=id quindi manda il 3 in 3.
iv) non è necessario ma va bene lo stesso.
i) dei possibili ordini che ho detto prima 1 non è, perchè a non è id.
se a ha ordine 2,3 o 6 allora $a^5$ non può essere l'identità.

Non so se è chiaro.

[adaBTTLS]

scusate, ma non mi pare che sia corretto scrivere $a$ come ha fatto fctk nel punto iv)
i calcoli che ha fatto dimostrano anche (vedi punto iii) di Megan00b) che l'ordine è 6 (e quindi era giusta la mia precedente risposta) e da ciò tutti gli altri punti seguono in maniera immediata.
non capisco alcune perplessità.
ciao.

[Megan00b]

Sì, infatti. Non avevo ricontrollato che fosse corretto. E' giusto come hai detto tu ada.

[fctk]

scusate non ho capito perchè dite che la scomposizione è sbagliata... $a=(14)(12)(35)=((1,4),(4,1))((1,2),(2,1))((3,5),(5,3))=((1,2,3,4,5),(2,4,5,1,3))$

[Megan00b]

Fallo così:
prendi un numero ad esempio 1.
scrivi (1
dove va l'1? in 2
quindi (12
dove va il 2? in 4
quindi (124
dove va il 4? in 1
allora puoi chiudere il ciclo
quindi (124)
poi prendi un altro (non considerato)
prendi 3
dove va il 3) in 5
quindi (35
il 5 va in 3 e quindi chiudi il ciclo
(35)
allora la scrittura in cicli è (124)(35) o (35)(124) che è lo stesso.

[Megan00b]

ps. quello che hai scritto non è sbagliato, ma la scomposizione che hai fatto non è in cicli disgiunti quindi non ti permette di lavorare agilmente con gli ordini. Anche la definizione di parità di una permutazione si riferisce alla sua scomposizione in 2-cicli disgiunti.