Esercizio difficile (secondo me) sui gruppi.

[alvinlee88]

Consideriamo il gruppo $G=(QQ,+)$, il gruppo dei razionali con la somma.
Sia $H<G$, un generico sottogruppo (proprio) di $G$. $|G//H|$ ha cardinalità finita o infinita?

Secondo me ha cardinalità infinita, e credo di averlo dimostrato nel caso $H$ abbia un numero finito di generatori. Non so però come estendermi al caso di infiniti generatori, quindi chiedo aiuto a voi.

Dimostro innanzitutto che se $H$ ha un numero finito di generatori, allora è della forma $qZZ={qz|zinZZ}$, con $qinQQ$.
Se il generatore è uno solo (sia $q$), allora ovviamente $H=<q> ={0,q,2q...}=qZ$.
Supponiamo ora che $H=<q_1,q_2,...,q_k>$, con $kinNN$, e con i $q_i$ ridotti ai minimi termini, ossia per ogni i $q_i=a_i/b_i$, con $a_i$ e $b_i$ coprimi. Prendo ora il razionale $q=1/(m.c.m(b_1,...,b_k))$, dove $m.c.m(b_1,...,b_k)$ indico il minimo comune multiplo fra $b_1,...,b_k$. Ora affermo che ogni elemento di $H=<q_1,q_2,...,q_k>$ può essere scritto come $qn$, con $n$ intero, ossia che appartiene a $<q>$. Prendiamo infatti un generico elemento $t$ di $H$, ovvero $t=c_1a_1/b_1+...+c_ka_k/b_k$, con i $c_i$ numeri interi, e vale $t=(x_1+x_2+...x_k)/(m.c.m(b_1,...,b_k))$ per opportuni $x_1,...x_k$ interi. Il numero $n=1/q*t=x_1+x_2+..+x_k$ è intero, ed è tale che $q*n=t$, ossia ho espresso $t$ come volevo , e dunque $H=<q>$.
E ora veniamo all dimostrazione vera e propria.
Un generico elemento di $Q//H$ è una classe laterale $qZ+w$, con $winQQ$. Voglio dimostrare che di queste classi ne esistono infinite. Abbiamo $q=a/b$, con $a$ e $b$ coprimi, e per il teorema di fattorizzazione unica vale $b=p_1^(a_1)*p_2^(a_2)*...*p_k^(a_k)$, con i $p_i$ numeri primi e $a_k!=0$. Scelgo ora una coppia di primi $(p,p')$ tali che sia $p$ che $p'$ siano diversi da tutti i primi che compongono $b$. Ho evidentemente infiniti modi di scegliere questa coppia, dato che i primi sono infiniti. Considero le due classi $qZ+1/p$ e $qZ+1/(p')$ , e dimostro che sono distinte.
Se infatti fossero uguali si avrebbe che $1/p-1/(p')=(p'-p)/(pp')inqZ$, cioè $(p'-p)/(pp')=a/b*n$, per qualche $n$ intero. Si ha che $(p'-p)/(pp')$ è ridotto ai minimi termini. Affinchè valga l'uguaglianza di cui sopra si dovrebbe allora avere che $pp'=b'$, dove $b'$ è composto da al più $k$ primi, gli stessi di $b$ (l'aver moltiplicato $a$ per $n$ può comportare che $(an)/b$ non sia più ridotto ai minimi termini, ma semplificando la frazione il nuovo denominatore, che chiamo $b'$, sarà composto dagli stessi primi che compongono $b$, al massimo con esponenti minori (o anche zero) a causa della semplifizione), e questo è assurdo perchè per quanto detto si ha evidetemente $pp'!=b'$. Quindi ho trovato il modo di costruire infinite classi distinte di $G//H$, e dunque $G//H$ ha cardinalità infinita, se $H$ è del tipo suddetto.

E' giusta? E soprattutto come si potrebbe dimostrare il caso degli infiniti generatori?
Grazie mille.

MODIFICATO

[Gaal Dornick]

Prometto di leggerlo. Ma non riesco a capire come puoi ottenere $QQ$ ($<QQ$) nella forma $qZZ$.
E in questo caso $|G//H|=1$

Stai parlando di sottogruppi propri?

[alvinlee88]

Prometto di leggerlo. Ma non riesco a capire come puoi ottenere $QQ$ ($<QQ$) nella forma $qZZ$.
E in questo caso $|G//H|=1$

Stai parlando di sottogruppi propri?

Ehm, suppongo di si!. Il fatto è che l'esercizio lo conosco da "fonti indirette", e non ho mai visto l'enunciato formale completo del problema. Comunque si, consideriamo solo i sottogruppi propri.
Altre cacchiate in vista?

[alvinlee88]

Nessuno che mi dia un hint con il caso degli infiniti generatori? Non ho propria idea di come trattare questo caso. Di sicuro non c'è modo di ricondurmi al caso di un unico generatore. Serve quindi tutto un altro ragionamento, che non trovo...