Proprietà definita in un insieme.

[turtle87]

Salve a tutti, ritorno dopo un periodo in cui per vostra fortuna non ci sono stato.
Dunque, il professore ha detto oggi in classe, cominciando dalle prime nozioni di matematica teorica, che una proprietà x si dice definita in un insieme se "abbia senso" dire per ogni elemento dell'insieme che abbia o meno tale proprietà. Penso dunque all'esempio dei numeri pari. "Ha senso" chiedersi se 3 (numero che sappiamo non essere pari) lo sia o meno, dunque la proprietà di un numero di essere pari è definita in N.

Il professore, continuando, ha esposto la notazione classica con cui si rappresenta un'insieme in maniera intensiva. Dato un insieme S, e data una proprietà p, la notazione S= {x € S: p} sta a significare che p sia una proprietà che identifica tutti gli elementi di un insieme, creando appunto l'insieme con quegli elementi che ne godono.

A questo punto il mio dubbio, più che altro legato ad una piccola disattenzione mia, credo, piuttosto che a una reale ambiguità di chi esponeva, è il seguente: ho capito bene se dico che p è definita in S, ma proprietà che abbiano lo stesso ruolo di p nel determinare un insieme non sono le sole ad essere definite nell'insieme che costruiscono? O, il che è lo stesso, si può dire della negazione di p che sia definita nell'insieme S che essa stessa "determina"?

[Megan00b]

Una proprietà non è definita su un insieme. Si dice intuitivamente che una proprietà è una "funzione logica" che associa ad ogni elemento un valore di verità (V/F). In realtà questa non è una buona definizione per motivi di consequenzialità logica nella costruzione della teoria degli insiemi.
Una proprietà P(x) è una formula del linguaggio della teoria delgi insiemi che contiene la variabile x LIBERA. (cioè non quantificata).
Parlare di proprietà che definiscono un insieme non è in generale corretto. Un assioma della teoria assiomatica degli insiemi (detto assioma di comprensione o di separazione) afferma che dato un insieme A ed una proprietà $p(*)$ esiste l'insieme $B={x in A: p(x)}$. In particolare se vale:
$AA x in A\ p(x)$ necessariamente $B=A$ per un altro assioma (di estensionalità) che dice che due insiemi sono uguali se e solo se hanno gli stessi elementi.
La questione importante è osservare che il primo assioma che ti ho citato permette di costruire insiemi "ritagliandoli" da insiemi di cui sappiamo già l'esistenza.
Quindi gli insiemi esistono per conto loro. Partendo da un insieme puoi deifnire un suo sottinsieme come insieme di tutti gli elementi del primo insieme che verificano una proprietà. (in tal caso si parla di estensione della proprietà).
Il problema di fondo è che se accettassimo di poter definire insiemi a partire da una qualunque proprietà otterremmo dei paradossi come ad esempio:
$V={x : "x=x"}$

[turtle87]

La tua spiegazione è troppo complessa per poterla seguire in tutta la sua organicità, ma credo di aver capito che per il primo assioma, una proprietà è definita in un insieme e non "definisce" l'insieme, e quindi confermerebbe il fatto che semmai "definirebbe" (anche se forse quello che ho appena detto non è logicamente esente da errori) un sottoinsieme, ovvero permetterebbe di stabilire quali elementi del primo insieme appartengano anche ad un sottoinsieme di questo.

[Megan00b]

Sì il succo è quello. Solo che come ti ho detto una proprietà non è definita su un insieme perchè una proprietà non è una funzione.
Se poi proprio volessi considerarla una funzione saebbe definita su tutto l'universo, che come ti ho scritto in fondo al post precedente non è un insieme. Fine della storia.
L'unica cosa che puoi dire è che data una proprietà ed un insieme A, un certo elemento di A verifica la proprietà. Se prendi tutti gli elementi di A che la verificano ottieni un insieme-sottoinsieme di A (eventualmente vuoto o tutto A).

[turtle87]

Pensavo a quello che mi diceva un amico che aveva ascoltato i corsi all'università. Dunque, secondo la sua docente, quello di insieme sarebbe un concetto primitivo. Questo perchè la definizione classica che se ne dà sarebbe quasi inadatta a spiegare tutti i casi. Alla definizione classica che se ne da, forse quella più diffusa, che indica l'insieme come "una collezione di oggetti, aventi tutti una data proprietà", andrebbero fatte secondo quello che mi diceva a buon diritto secondo me alcune obiezioni: innanzitutto, non tutti gli insiemi sono una "collezione di oggetti". Esiste a confermare quanto dico, l'insieme vuoto. Di conseguenza, con questo, la definizione sopra esposta non basterebbe, ma dovrebbe essere integrata da una postilla che contempli anche questo caso particolare.
In secondo luogo, non tutti gli insiemi hanno una data proprietà. Lui mi ha citato l'esempio dell'Universo(che tu dici non essere un insieme, per questo ho approfittato di questa discussione per esporre anche questo problema), dicendo che anche quello fosse un insieme. Io gli ho detto, cadendo evidentemente in una tautologia, che anche un insieme {1, 2, k, pasquale, Pasquale} possedeva una proprietà, appunto quella di contenere gli elementi che lo componessero, che quindi avevano a loro volta la proprietà di "essere contenuti nell'insieme dato". Ovviamente senza accorgermi che per definire l'insieme si tornava al suo ruolo, cosa evidentemente simile ad un "cane che si morde la coda".
Come succo di tutto ciò, si arriverebbe alla conclusione che quello di insieme è un concetto primitivo. Vorrei sapere che ne pensi tu e che ne pensano tutti gli altri che leggeranno.

[adaBTTLS]

l'insieme è un concetto primitivo: se lo definisci con sinonimi, qual è la definizione di "collezione", "raggruppamento", ecc.?
si parla solo di insieme "ben definito", nel senso che appunto una collezione di oggetti rappresenta un insieme se e solo se è oggettivamente stabilito quali elementi facciano parte dell'insieme stesso.
per il resto, la necessità di partire da concetti primitivi è insita nella matematica in quanto scienza ipotetico-deduttiva. la scelta di quali siano i concetti primitivi può essere ovviamente diversa... ma non mi risulta che si usino concetti primitivi tali da poter definire rigorosamente gli insiemi.
non so se ho risposto alla domanda. spero di essere stata utile. ciao.

[Megan00b]

aggiungo che nella teoria assiomatica degli insiemi gli unici insiemi che si dice esplicitamente che esistano sono il vuoto e un insieme induttivo (~ una cosa che contiene tutti i naturali). E poi gli altri assiomi dicono quali sono i modi per ricavare altri insiemi da insiemi già definiti. L'insieme è un concetto primitivo e qualsiasi cosa esista è un insieme. Quindi anche ogni cosa che non è un insieme non esiste. Quindi secondo questa assiomatizzazione non parti da una proprietà per definire un insieme ma parti da insiemi già formati e poi verifichi che valgono determinate proprietà. In conclusione dire che un insieme contiene tutti e soli gli elementi che verificano una proprietà intendila come una caratterizzazione dell'insieme e non come una definizione.

[adaBTTLS]

...grazie... certo che è una "caratterizzazione" e non una "definizione", visto che una definizione non esiste.
certo, però, questo fatto che tutto ciò che non è insieme non esiste è "fortissimo": si adatta all'ordinario concetto di insieme che si usa nella matematica di base?

[Megan00b]

Sì, in effetti mentre lo scrivevo ero un po' dubbioso. Il nostro interlocutore, mi sembra di capire, è proprio all'inizio. Ho cercato di semplificare dei concetti piuttosto ostici senza banalizzarli, ma non mi risulta semplice.
Diciamo che per "non esiste" intendo proprio "non è un insieme", perchè nella teoria assiomatica degli insiemi ogni "oggetto" di cui si parla è un insieme. Ci sono delle classi (cose che intuitivamente sembrano insiemi) ma in realtà non possiamo considerarli insieme in questa teoria assiomatica perchè porterebbero a paradossi. Un esempio è l'<<insieme>> universo.
Forse dovrebbe essere turtle a dire se ha capito, cosa ha capito, se basta così o gli servono altre spiegazioni.

[adaBTTLS]

l'insieme universo in realtà è sostituito dall'insieme ambiente... ed esiste, anche se non in maniera univoca.
è l'insieme "che contiene tutti gli elementi" che non esiste, ed il motivo è strettamente correlato al fatto che gli elementi di un insieme possono essere a loro volta insiemi...
l'insieme vuoto, poi, ha infinite rappresentazioni caratteristiche. le più utilizzate: {monti della Terra alti più di 10000 m}, {città con più di un miliardo di abitanti}, {numeri primi pari maggiori di 5}, e simili...
definire una proprietà all'interno di un insieme equivale a stabilire un sottoinsieme:
se N è l'insieme dei numeri naturali (preso come insieme ambiente), A è l'insieme dei numeri naturali che verificano la proprietà P, se prendi un numero naturale (come ad esempio il 3 del primo messaggio) e ti chiedi se 3 verifica la proprietà P (l'essere pari, ad esempio), allora se la risposta è NO, vuol dire che 3 appartiene non ad A, ma al suo complementare rispetto ad N (N-A)...
non so se sono andata fuori tema. spero almeno di aver chiarito qualche dubbio... o anche di averne creato qualche altro... (è sempre positivo!). ciao.