ti dò un suggerimento: conosci il teorema del binomio di Newton? Sicuramente sì: in un anello commutativo (per esempio nei numeri reali),
$(a+b)^n=sum_{i=0}^n((n),(i))a^ib^(n-i)$.
Ti sei mai chiesto da dove esce quel coefficiente binomiale? Ti vengo incontro:
$(a+b)^n=(a+b)(a+b)...(a+b)$ n volte. Se sviluppi, ottieni la somma di tutte le possibili combinazioni di prodotti di $a$ e $b$ presi in tutto $n$ volte: cose come $aaba...b, bbab...a$ dove prendi un certo numero, diciamo $i$ di $a$ e moltiplichi $n-i$ fattori $b$. Quindi (prop. commutativa) è una somma di oggetti tipo $a^ib^(n-i)$. Ma non ogni $a^ib^(n-i)$ può essere ottenuto in un solo modo.
Ad esempio, $(a+b)^2=(a+b)(a+b)=a*a+a*b+b*a+b*b=aa+2ab+b b$, perché puoi ottenere il termine misto in 2 modi diversi. E se elevassimo al cubo, avrsti $(a+b)^3=(a+b)(a+b)(a+b)=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$ perché puoi ottenere i termini misti $a^2b, b^2a$ come $aab, aba, baa; b ba, bab, ab b$ ovvero in 3 modi diversi l'uno.
Osservazione importante: in ognuno degli addendi della sommatoria, una volta fissati i posti che dovranno occupare le $a$, i posti restanti vanno riempiti di $b$ e perciò sono già determinati. Quindi ogni $a^ib^(n-i)$ compare nella sommatoria esattamente tante volte quante le possibili combinazioni di i oggetti estratti tra n oggetti.
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Che cosa sto cercando di dire da mezz'ora? Che il teorema di Newton è solo una applicazione di un teorema più importante:
dato un insieme di $n$ oggetti, è possibile sceglierne $i$ (combinare $i$ oggetti scelti tra $n$) esattamente in $((n),(i))$ modi diversi.
Che c'entra questo col tuo problema? Molto, visto che, in sostanza, questo si riduce a contare varie combinazioni di elementi di un insieme finito.
Se non si dovesse capire quello che voglio dire (il che è molto probabile) guarda qui:
http://it.wikipedia.org/wiki/Combinazio ... i_semplici.