Paradosso di Russell

[Lorin]

Qualcuno mi può spiegare in parole non troppo complicate il paradosso di Russell, quello che riguarda l'insieme Universo?

Il mio prof all'uni ce lo ha illustrato ma non sono riuscito a capire il fine, cioè gli ultimi passaggi e su internet lo spiegano allo stesso modo...

Grazie

[matths87]

Ti giro una breve spiegazione che ho avuto tra le mani quando ho seguito una specie di corso di Logica.

Ogni insieme può essere definito mediante rappresentazione intensiva, ovvero tramite un predicato che ne caratterizza gli elementi. Non è vero, invece, che ogni enunciato definisce un insieme. Ad esempio, se poniamo $A={x|x\notinA}$ , non riusciamo a stabilire se $A$ è o non è un elemento dell’insieme. Una cosa simile accade nel “paradosso di Russel”, in cui “il barbiere è colui che fa la barba a chi non se la fa da solo”.
In questo caso, non siamo in grado si stabilire se il barbiere rade sé stesso, perché:
• se il barbiere si fa la barba, allora non potrebbe farsela (ciò discende dalla definizione di barbiere sopra data);
• se il barbiere non si fa la barba, allora sarebbe costretto a farsela.
Questo paradosso può essere aggirato supponendo che il barbiere sia una donna. Così facendo, infatti, non sorgono problemi logici di alcuna natura, in quanto ovviamente una donna non deve radersi la barba.
Un’alternativa per evitare il paradosso di Russel nella sua forma più generale è assegnare a propri un insieme universo di riferimento (p. es. $RR$, $ZZ$ o $RR^2$) di cui quello che vogliamo descrivere è sottoinsieme.

[Lorin]

Io non mi riferivo a quello del barbiere, adesso ti enuncio come il mio prof lo ha cominciato e quello che mi ha spiegato:

Prendiamo un insieme $U$ che lo indicheremo come insieme di tutti gli insiemi, ovvero, insieme Universo, quindi presa un $x in U rArr X $ è in un insieme.

L'insieme U, avendo come elementi tutti i possibili insiemi, contiene se stesso come elemento, quindi $U in U$

e allora per ogni A, risulta che $A in A$ oppure $A notin A$ (questa è la prima cosa che non mi è chiara)

Quindi, quando noi prendiamo l'insieme $U$ e lo divido in due, da una parte metto tutti gli elementi che appartengono ad A e da un'altra tutti gli elementi che non appartengono ad A. Dunque è possibile definire l'insieme $P$ di tutti gli insiemi che non contengono se stesso come elemento, cioè:

$P = {$ insiemi A tali che $A notin A}$

Per l'insieme $P$ si ha:

$P in P rArr P notin P$ (cosa assurda. Il perchè è assurdo lho capito ma non capisco perchè esca così)

$P notin P rArr P in P$ (altra cosa assurda che come prima non ho capito)

Questo ci fa capire che non possiamo chiamare insieme un qualunque agglomerato di oggetti.

[matths87]

Prova a dare un'occhiata qui: http://it.wikipedia.org/wiki/Paradosso_di_Russel, al paragrafo "Analisi".
Mi pare che sia molto più chiaro di quanto potrei esserlo io

[NightKnight]

@ Lorin: temo che tu stia confondendo due cose diverse.

1) PARADOSSO DI RUSSELL
Definiamo $R = {x | x \notin x}$. Facciamo vedere che la classe $R$ non può essere un insieme perché non si riesce a dire se $R$ appartiene a se stessa oppure no:
infatti $ R\in R \ \ \ iff \ \ \ R\notin R$ che è quindi un assurdo.
Inoltre si danno le seguenti definizioni:
un insieme $A$ si dice eterologicoo se $A \notin A$ e si dice autologico se $A \in A$. Ecco, $R$ è la classe degli insiemi eterologici; ma non si riesce a stabilire se $R$ è eterologica o autologica.

2) LA CLASSE UNIVERSALE NON E' UN INSIEME.
Sia $V = {x | x=x }$ la classe universale, cioè la classe di tutti gli insiemi.
il teorema di Cantor ci dice che un insieme non può essere messo in corrispondenza biunivoca con l'insieme dei suoi sottonsiemi, detto anche insieme delle parti o insieme potenza.
Ora osserviamo che l'insieme delle parti di $V$ è esattamente $V$, e questo è assurdo con il teorema di Cantor. E allora $V$ non è un insieme.

Quindi abbiamo trovato due proprietà che non definiscono insiemi: $x \notin x \ , \ x=x$. E questo ci fa dedurre che l'assioma intuitivo di comprensione sia contraddittorio e allora dobbiamo considerare l'assioma di separazione della teoria ZFC.

[adaBTTLS]

l'ho citato anch'io qualche giorno fa.
a me è stata detta questa semplice versione (non sarà la stessa citata da altri, ma evidententemente è attribuita comunque a Russell): penso che Lorin si riferisca a questo:
"non può esistere l'insieme che contenga tutti gli elementi".
nel precedente intervento (non ricordo il topic) dicevo che la cosa è strettamente legata al fatto che gli elementi di un insieme possono essere a loro volta insiemi (ad esempio l'insieme delle parti è costituito da insiemi).
dimostrazione: supponiamo per assurdo che U sia l'insieme che contenga tutti gli elementi. allora consideriamo l'insieme W costituito da tutti gli elementi di U e da U stesso: $W=Uuu{U}$. tale insieme è "più grande" di U. pertanto la tesi è falsa.
spero di essere stata chiara. ciao.

[Lorin]

Quello che io ho scritto è quello che il mio prof nel precorso di mate ci ha indicato come il paradosso di Russell. Ora proverò a guardare anche un su wikipedia, ma credo che la spiegazione che io volevo mi fosse chiarita è quella di AdaBTTLS. Quindi vorrei chiedere se mi potesse spiegare meglio i punti del mio vecchio post che non mi sono chiari:

- allora per ogni A, risulta che $A in A$ oppure $A notin A$ (questa è la prima cosa che non mi è chiara)

- $P in P rArr P notin P$ (cosa assurda. Il perchè è assurdo lho capito ma non capisco perchè esca così)

$P notin P rArr P in P$ (altra cosa assurda che come prima non ho capito)

[Megan00b]

dimostrazione: supponiamo per assurdo che U sia l'insieme che contenga tutti gli elementi. allora consideriamo l'insieme W costituito da tutti gli elementi di U e da U stesso: $W=Uuu{U}$. tale insieme è "più grande" di U. pertanto la tesi è falsa.
spero di essere stata chiara. ciao.

A me non sembra che questo porti a contraddizioni. Forse sbaglio ma l'ipotesi è proprio che U contenga tutto e quindi contiene anche il successore di U e non essendo possibile fissare un ordine totale tra insiemi a priori non capisco cosa voglia dire è "più grande". Forse non ho capito io.

[adaBTTLS]

il problema è che non è corretto scrivere una cosa così come quella che no ti è chiara. probabilmente ti sei perso un pezzo della dimostrazione.
secondo me quella "mia" è sufficiente ed è semplice.
non sono in grado di seguire percorsi tortuosi della mente del prof tradotti da qualcuno come te che non è riuscito a seguirli.
mi dispiace ma per ora non mi viene in mente altro. ciao.

[Megan00b]

Vabene dai ci penso un po' su, chiedevo solo chiarimenti. Però non è necessaria la risposta acida. Boh vedi tu.