Avrei bisogno di una mano per dimostrare che i seguenti polinomi sono irriducibili in $QQ[x]$:
$f_1(x)=x^5+10x^2-6x+2$
$f_2(x)=x^3+6x+1$
$f_3(x)=x^5+4x^2+x+2$
$f_4(x)=x^4+3x^2+x+1$
per il primo ho provato ad usare il criterio di Eisenstein con $p=2$: $p | 2$, $p | -6$, $p | 10$, $p$ non divide $1$ e $p^2=4$ non divide $2$ dunque $f_1(x)$ è irriducibile in $QQ[x]$
per il secondo considererei $p(x)=x^3+x+1 \in ZZ_5[x]$ e noto che $p(0)=1$, $p(1)=3$, $p(2)=1$, $p(3)=1$, $p(4)=4$ e noto che $f_2(x)=p(x)$ in $ZZ_5[x]$ e, poiché $p(x)$ è irriducibile in $ZZ_5[x]$, $f_2(x)$ è irriducibile in $QQ[x]$.
per il terzo ho preso $p(x)=x^5+x^2+x+2 \in ZZ_3[x]$ e noto che $p(0)=2$, $p(1)=1$, $p(2)=1$; dunque non ha radici, ma potrebbe spezzarsi in un prodotto di polinomi di secondo e terzo grado, perciò ho considerato tutti i polinomi irriducibili di secondo grado di $ZZ_3[x]$ che sono:
$p_1(x)=x^2+1$, $p_2(x)=x^2+x+2$, $p_3(x)=x^2+2x+2$
dopodiché ho effettuato la divisione tra $f_3(x)$ e i polinomi qui sopra constatando che il resto era sempre diverso da zero il che mi ha permesso di concludere che $p(x)$ è irriducibile in $ZZ_3[x]$ e dunque $f_3(x)$ è irriducibile in $QQ[x]$ poiché coincide con $p(x)$ in $ZZ_3[x]$
per l'ultimo invece non riesco a sbrogliare la matassa: il criterio di Eisenstein non si può applicare e il discorso fatto nei due casi precedenti è infruttuoso poiché il polinomio corrispondente in $ZZ_2[x]$ o $ZZ_3[x]$ è riducibile, mentre considerando $ZZ_5[x]$ non ha radici, ma potrebbe spezzarsi in fattori di secondo grado; solo che mentre nel caso $ZZ_3[x]$ i polinomi irriducibili di grado due erano solo $3$, in $ZZ_5[x]$ sono $11$ (sempre se non ho sbagliato a fare i conti) e diventa estremamente lungo fare 11 divisioni tra polinomi (che tra l'altro potrebbe venire un resto nullo e mandare a monte tutto essendo la condizione soltanto sufficiente).
Vi prego come si potrebbe fare?
I primi tre sono invece giusti?
Grazie moltissimo!