Algebra - Gruppi e sottogruppi

[whiterabbit]

Non ho capito.. I passaggi di cui sopra sono corretti e alla fine devo assumere che $k = h^{-1}$ ? oppure devo cambiare tipo di procedimento?

[Martino]

Te lo scrivo meglio.

$a sim b$ se e solo se esiste $h in H$ tale che $b=hah^{-1}$.

Proprietà simmetrica: dobbiamo provare che se $a sim b$ allora anche $b sim a$.
Supponiamo allora $a sim b$. Per ipotesi esiste quindi un $x in H$ tale che $b = x a x^{-1}$. Dobbiamo provare che $b sim a$, ovvero trovare un $h in H$ tale che $a = h b h^{-1}$. Da $b = x a x^{-1}$ segue, moltiplicando a sinistra per $x^{-1}$ e a destra per $x$, che $a = x^{-1} b x$. Riepilogando: sappiamo che

$a = x^{-1} * b * x$

e dobbiamo trovare un $h in H$ tale che

$a = h * b * h^{-1}$.

Questo ci fa venire il colpo di genio: basta scegliere $h = x^{-1}$ !!

Vediamo se funziona: $h b h^{-1} = x^{-1} b (x^{-1})^{-1} = x^{-1} b x = a$. Sì funziona!

Chiaro?

[whiterabbit]

Ok..

Ora per la transitività

$a sim b$ e $b sim c$ allora $a sim c$ $h,k \in H$

$b = hah^{-1}$ e $c = kbk^{-1}$ se moltiplichiamo a destra per $k$ e a sinistra per $k^{-1}$ otteniamo che $k^{-1}ck = b$ andando a sostituirlo in $a sim b$ otteniamo $k^{-1}ck = hah^{-1}$ e scegliendo $k =1$ otteniamo $c = hah^{-1}$ e quindi $a sim c$

Può andare?

[Martino]

$b = hah^{-1}$ e $c = kbk^{-1}$ se moltiplichiamo a destra per $k$ e a sinistra per $k^{-1}$ otteniamo che $k^{-1}ck = b$ andando a sostituirlo in $a sim b$ otteniamo $k^{-1}ck = hah^{-1}$ e scegliendo $k =1$ otteniamo $c = hah^{-1}$ e quindi $a sim c$

Può andare?

Certo che no: $k$ è dato, non lo puoi scegliere.

Pensaci ancora un po', non è difficile.

[whiterabbit]

Non sò come concludere la dimostrazione.. L'ho riscritta così:

$a sim b$ e $b sim c$

Allora supponiamo che esiste un $x \in H$ tale che $b=xax^{-1}$ e un $y \in H$ tale che $c=yby^{-1}$ dobbiamo trovare un $h \in H$ tale che $c=hah^{-1}$

$y^{-1}cy=b$ quindi $y^{-1}cy = xax^{-1}$ ora posso dire che $c=yxax^{-1}y^{-1}$ a questo punto devo trovare quell'h tale che $c=hah^{-1}$ giusto? :-S

quindi se $h=yx$ avrei $x^{-1}y^{-1} = (yx)^{-1}$ e quindi $c=hah^{-1}$

Stò sparando scemate sulle proprità del gruppo vero?

[vict85]

Non sò come concludere la dimostrazione.. L'ho riscritta così:

$a sim b$ e $b sim c$

Allora supponiamo che esiste un $x \in H$ tale che $b=xax^{-1}$ e un $y \in H$ tale che $c=yby^{-1}$ dobbiamo trovare un $h \in H$ tale che $c=hah^{-1}$

$y^{-1}cy=b$ quindi $y^{-1}cy = xax^{-1}$ ora posso dire che $c=yxax^{-1}y^{-1}$ a questo punto devo trovare quell'h tale che $c=hah^{-1}$ giusto? :-S

quindi se $h=yx$ avrei $x^{-1}y^{-1} = (yx)^{-1}$ e quindi $c=hah^{-1}$

Stò sparando scemate sulle proprità del gruppo vero?

mmh, sì ma hai fatto dei passaggi inutili:

Sostituisci in $c=yby^{-1}$ il $b$ con $xax^{-1}$ trovando che $c=yxax^{-1}y^{-1}$ che è uguale a $c=(yx)a(yx)^{-1}$ (ricordare che $(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}$). $yx$ appartiene ad $H$ e quindi hai finito.

[whiterabbit]

Si è vero..

Mentre la seconda parte dell'esercizio come si svolge? ho un esempio sulle dispense ma non c'è spiegato niente -,- quindi mi serve a poco, potete darmi una spiegazione in linea di massima su come svolgerlo?


Per dimostrare che $sim$ è una congruenza va bene un procedimento simile?

$sim$ è una congruenza se $a1 sim b1$ e $a2 sim b2$ allora $a1a2 sim b1b2$

Noi abbiamo $b1 = ha1h^{-1}$ e $b2=ha2h^{-1}$ metto assieme e risulta $b1b2 =ha1h^{-1}ha2h^{-1}$ che risulta $b1b2 = ha1a2h^{-1}$

[Martino]

Per dimostrare che $sim$ è una congruenza va bene un procedimento simile?

$sim$ è una congruenza se $a1 sim b1$ e $a2 sim b2$ allora $a1a2 sim b1b2$

Noi abbiamo $b1 = ha1h^{-1}$ e $b2=ha2h^{-1}$ metto assieme e risulta $b1b2 =ha1h^{-1}ha2h^{-1}$ che risulta $b1b2 = ha1a2h^{-1}$

Si' va bene.

Quanto al resto, coniuga gli elementi di $S_3$ con $H={1,(1\ 2)}=<(1\ 2)>$ e vedi cosa succede!

(coniugare significa appunto moltiplicare da una parte per un elemento e dall'altra per il suo inverso).

Per esempio, la classe di $(1\ 2\ 3)$ sara' data da ${(1\ 2\ 3),\ (1\ 2)(1\ 2\ 3)(1\ 2)^{-1}}$, ecc.