Algebra: aiuto dimostrazione sugli R-moduli

[fabry1985mi]

Ciao a tutti!
Avrei bisogno di una mano per dimostrare questo fatto:
Sia $M$ un R-modulo
Supponiamo che $\forall m \in M$ $m$ si possa scrivere in modo unico come $m=m_1+...+m_N$ dove $m_i \in M_i \forall i=1,...,N$ e gli $M_i$ sono sottomoduli di $M$.
Devo provare che
$M=M_1 \oplus ... \oplusM_N$
La dimostrazione fatta dal mio docente non mi è chiara; ve la riporto così magari qualcuno trae spunto per farmi comprendere:

dim
per mostrare la tesi devo fare vedere che

(a) $M$ è somma di sottomoduli: $M=M_1+...+M_N$ e questo mi è chiaro e ovvio dal fatto che per ipotesi $m=m_1+...+m_N$
(b) la somma degli $M_i$ è diretta: $\forall i=1,...,N$ ho che $M_i \cap (\sum_(j=1, j\nei)^n M_j)={0}$

Poiché la scrittura degli $m \in M$ è unica per ipotesi, avremo in particolare
$\forall i=1,...,N$ $m_i=0_1+....+0_(i-1)+m_i+0_(i+1)+...+0_N$
dove questi $0_i$ corrispondono agli $0$ degli $M_j$ che coincidono anche con lo $0$ di $M$ (fino a qui è tutto chiarissimo)
dunque per la stessa ragione l'unico modo di scrivere un elemento della somma dei rimanenti è:
$m=m_1+...+0+...+m_N$
dunque si deduce che l'elemento che sta nell'intersezione è forzatamente $0$

Probabilmente mi perdo in un bicchiere d'acqua...
Aiuto!

[Martino]

Puoi vederla così: prendi un $m_i$ che sta nell'intersezione. Allora esistono $m_j$ per $j ne i$ tali che $m_i = sum_{j ne i} m_j$. Portando tutto a destra risulta:

$m_1+...+m_{i-1}-m_i+m_{i+1}+...+m_n = 0$

Questa è l'unica scrittura dell'elemento $0$. Ma poiché abbiamo anche quest'altra scrittura:

$0_1+...+0_{i-1}+0_i+0_{i+1}+...+0_n = 0$

le due scritture devono coincidere (per l'unicità!), e quindi $m_j = 0_j=0$ per ogni $j ne i$ e $-m_i = 0_i=0$, ovvero $m_i=0_i=0$.

[fabry1985mi]

prendi un $m_i$ che sta nell'intersezione. Allora esistono $m_j$ per $j ne i$ tali che $m_i = sum_{j ne i} m_j$. Portando
.

Non capisco questo passaggio:
Perché $m_i=m_1+...+m_(i-1)+m_(i+1)+...+m_N$ ?
Scusami se sono duro di comprendonio, ma l'algebra non è mia amica!

[Martino]

Se $m_i in M_i \cap (\sum_(j=1, j\nei)^n M_j)$ allora in particolare $m_i in \sum_(j=1, j\nei)^n M_j$ e quindi $m_i$ si potrà scrivere come opportuna somma $sum_{j ne i}m_j$ con $m_j in M_j$ per ogni $j$. No?

[fabry1985mi]

Si perfetto; ora mi è chiaro!
Grazie!

[fabry1985mi]

un'altra cosa: il simbolo $R^R$ cosa denota di solito?

Perché mi si dice che se $R$ è commutativo $R^R$ è privo di torsione se e solo se $R$ è dominio di integrità.
Solo che non capisco quel simbolo...

[Martino]

un'altra cosa: il simbolo $R^R$ cosa denota di solito?

Di solito se $X$ è un insieme $X^X$ denota l'insieme delle funzioni $X to X$.

Nel tuo caso $R^R$ è un anello con le operazioni per componenti, ed è anche un $R$-modulo perché contiene le costanti.

[fabry1985mi]

Il punto è che non credo sia l'insieme delle applicazioni perché in realtà non è un $R^R$ bensì un $R$ con un pedice $R$ in basso, ma non a destra, ma a sinistra...
Spero di essermi riuscito a spiegare...

Ok, ho risolto trovando la notazione su un vecchio quaderno di appunti.
Significa che si vede un anello $R$ come un modulo su se stesso!

[dissonance]

...un $R$ con un pedice $R$ in basso, ma non a destra, ma a sinistra...

sono riuscito a scrivere questa cosa: $""_R R$!!! Ho usato questo codice: \$""_R R\$.

[OT] Ho provato anche in LaTeX ma non ci sono riuscito. LaTeX non interpreta "" come carattere fantasma. Come si può fare? [/OT]

[Martino]

Ok, quindi la cosa da dimostrare è:

"se $R$ è commutativo allora $R$ (come modulo su se stesso col prodotto di $R$) è privo di torsione se e solo se $R$ è dominio di integrità."

Dove trovi difficoltà nel dimostrarlo?