Nilpotente o no?... Mi aiutate?

[John_Nash]

Ciao a tutti.
Mi serve capire bene una cosa: lavorando in $Z_(/12)$ come faccio a sapere se per esempio il $2$ è nilpotente?
Cioè devo vedere se esiste un numero $n$ naturale tale che $[2]_(12)^n$ sia uguale a $0$ sempre in $Z_(/12)$. Come faccio a sapere questa cosa?
Non ci potrebbe essere una potenza molto grande, chessò tipo $2^34$, che è un multiplo di $12$ e quindi mi dà $0$? Dovrei provare per tutte le potenze (infinite essendo $n$ naturale...) ???
Il professore ha spiegato questa cosa un pò velocemente oggi e penso ci tornerà su, ma nel frattempo vorrei capire meglio..
Grazie!!

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Beh le potenze dopo un po' si ripetono.
Chi saranno i nilpotenti in Z_12 ? tutti quelli che contengono i fattori di 12 (magari con esponenti diversi ma comunque >0 )

[Martino]

Non ci potrebbe essere una potenza molto grande, chessò tipo $2^34$, che è un multiplo di $12$ e quindi mi dà $0$?

Ma secondo te una potenza di due può essere un multiplo di dodici?

[Gaal Dornick]

2 è nilpotente $<=> 2^k=0 " mod " 12 " per " " un " " k in NN, k>0 <=> 12//2^k <=>$ i fattori irriducibili di $12$ dividono 2

Quindi gli elementi nilpotenti di $ZZ_(12)$ sono: $2*3=6$ e basta, visto che poi gli altri non sono in un sistema completo di rappresentanti..ad esempio ${0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}$.

[John_Nash]

Ma mi spiegate proprio di base come si fà a trovare se un numero è nilpotente?
Poi:

1) Si dice che "2 è nilpotente in $Z_(12)$" oppure come? Proprio a livello di linguaggio intendo.

2) Per vedere se è nilpotente o meno devo tenere conto di tutti i numeri fino ad $n$ in $Z_(n)$?

Non è che abbia capito molto di questa roba..

@Martino:
ma che cacchio ne sò se una potenza di 2 può essere un multiplo di dodici? Se mi spieghi in che modo fai ad escludere così ad occhio una tale ipotesi beh mi fai un piacere, altrimento ponendoti così mi sai solo di saccente, il che non mi aiuta proprio per niente.

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Nel 12 c'è il fattore 3, nelle potenze di 2 c'è il solo fattore primo 2. In due cose uguali ci devono essere perlomeno gli stessi fattori no?

[Martino]

@Martino:
ma che cacchio ne sò se una potenza di 2 può essere un multiplo di dodici? Se mi spieghi in che modo fai ad escludere così ad occhio una tale ipotesi beh mi fai un piacere, altrimento ponendoti così mi sai solo di saccente, il che non mi aiuta proprio per niente.

Ascolta io mi sono posto così non per evidenziare la mia profonda intelligenza ma per sottolineare l'evidenza della cosa: siccome 3 divide 12, 3 divide ogni multiplo di 12. Ed è evidente che 3 non divide una potenza di 2.
Mi dispiace averti fatto questa impressione, questo è il mio naturale modo di esprimermi, vorrà dire che in questo filone non scriverò più niente. Lieto se ne sei contento.

[Gaal Dornick]

Devi cercare di capire se esiste $[a]in ZZ_n$ t.c. $EEk>0$ t.c. $[a]^k=[0]$.
Per semplificare i conti, ti conviene considerare un sistema completo di rappresentanti: ad esempio in $ZZ_n$ puoi prendere $A={0,1,2,...,n-1}$.
Ora: con $a in A$ verifico se $[a]$ è nilpotente. (così facendo sono sicuro di considerare tutti i casi possibili: comunque preso $x in ZZ_n EEb in A t.c. x=[b]$ proprio perchè è un sistema completo di rappresentanti).

$[a]^k=[0]<=>12//a^k<=>$ i fattori irriducibili di 12 dividono a.

In A l'unico elemento tale che i fattori irriducibili di 12 lo dividono è: 6.

Quindi 6 è l'unico nilpotente in $ZZ_12$.

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Esercizio per voi

$Z_n$ ammette nilpotenti se e solo se nella sua fattorizzazione in potenze di primi c'è qualche esponente >1.

Il bello di quest'esercizio è che risolvendolo si trova proprio il modo di individuare quei nilpotenti (che è quello spiegato qui sopra)