aritmetica/teoria dei gruppi

[alvinlee88]

Dimostrare che per ogni $n$ intero positivo e per ogni $p$ primo
$n!|(p^n-1)*(p^n-p)*(p^n-p^2)*...*(p^n-p^(n-1))$.

Stavo cercando di dimostrarlo usando la teoria dei gruppi:
Dato che il numero $x=(p^n-1)*(p^n-p)*(p^n-p^2)*...*(p^n-p^(n-1))$ è la cardinalità di $Aut(G)$, con $G=(Z//pZ)^n= Z//pZ X ....X Z//pZ$ (n prodotti diretti) stavo cercando di produrre un sottogruppo di $Aut((Z//pZ)^n)$ di ordine $n!$, così per Lagrange avrei finito. L'unico sottogruppo di $Aut(G)$ che mi viene in mente è però il sottogruppo delgi automorfismi interni, ma essendo il gruppo abeliano esso è costituito solo dalla funzione identica.
Qualche suggerimento (anche di caratteri aritmetico e non gruppale)?
Grazie, come sempre...

[Lord K]

Il Teorema di Wilson qui mi pare casca a fagiuolo! ...

[alvinlee88]

Non conoscevo il terema di Wilson, l'ho cercato su Wikipedia ma non vedo come si possa applicare in questo caso.
Inoltre il prof di strutture algebriche proponendocelo alla fine di una lezione ha detto "se volte divertirvi con un esercizietto di aritmetica fate questo:...". Aritemtica era il corso del primo anno, e non abbiamo mai fatto il teorema di Wilson...

[krek]

Perdonami puoi rispiegare il problema? Non ho capito

[alvinlee88]

Puoi rispiegare il problema?

Dimostrare che per ogni $n$ intero positivo e per ogni $p$ primo
$n!|(p^n-1)*(p^n-p)*(p^n-p^2)*...*(p^n-p^(n-1))$.

E ho aggiunto che volevo cercare di dimostrarlo trovando un sottogruppo di $Aut ((Z//pZ) ^n)$ di ordine $n!$. Cosa non si capisce?

[pic]

Di solito n! ha a che fare con le permutazioni. Permutare una base equivale ad applicare un automorfismo. Semplice no?

[Martino]

Io giocherei un po' col calcolo combinatorio: siccome $(p^n-1)(p^n-p)...(p^n-p^{n-1})$ è il numero di basi ordinate di $(ZZ//pZZ)^n$, e ad ogni base corrispondono $n!$ basi ordinate, il risultato è immediato.
Può andare?