principio di induzione, semplice esercizio

[raff5184]

dim col P di induzione che:

$n^5-n$ è multiplo di 30.. (Suppongo che la cosa per essere valida debba essere considerata per $n>=2$ (?))

[dissonance]

(Suppongo che la cosa per essere valida debba essere considerata per $n>=2$ (?))

beh no in effetti zero si può considerare multiplo di tutti i numeri: $n*0=0$.

[raff5184]

mhm l'avevo pensata anche io questa cosa ma mi sembrava strana. cmq grazie

Qualche idea per la dimostrazione che anche per un successore $n+1$ di $n$ vale la proprietà?

$(n+1)^5-(n+1)$
$(n+1)[(n+1)^4-1]$
$(n+1)[(n+1)^2+1*(n+1)^2-1]$... sono sulla cattiva strada?

[adaBTTLS]

se consideriamo 0 tra i numeri naturali, 0 può anche essere visto come multiplo di qualsiasi numero, per cui non ci sarebbe la limitazione a $n>=2$, ma potremmo considerare anche $n=0$ o $n=1$.
comunque partiamo da $n=2$: $2^5-2=30$, quindi per n=2 la proprietà è verificata.
ora supponiamo che la proprietà sia valida per un generico valore di n e dimostriamo che risulta valida anche per n+1.
$(n+1)^5-(n+1)=n^5+5n^4+10n^3+10n^2+5n+1-n-1=(n^5-n)+(5n^4+10n^3+10n^2+5n)$
il risultato della prima parentesi dell'ultimo passaggio è multiplo di 30 per l'ipotesi induttiva. vogliamo dunque verificare che anche il risultato della seconda parentesi è multiplo di 30. lo scomponiamo: $5n(n^3+2n^2+2n+1)$ è certamente divisibile per 5; verifichiamo la divisibilità per 2,3.
se n è pari, tale numero è divisibile per 2, ma se n è dispari il numero tra parentesi è pari, per cui il numero in questione è pari.
se n è multiplo di 3, allora lo sarà anche il numero in questione. però, se n non è multiplo di 3, dimostriamo che il numero tra parentesi è divisibile per 3.
se $n bar= 1 (mod 3)$ pongo $n=3k+1$ e svolgo i calcoli tra parentesi:
$(3k+1)^3+2(3k+1)^2+2(3k+1)+1=27k^3+27k^2+9k+1+18k^2+12k+2+6k+2+1=27k^3+45k^2+27k+6$ che è un multiplo di 3.
se $n bar= 2 (mod 3)$ analogamente pongo $n=3h-1$ ed ottengo:
$(3h-1)^3+2(3h-1)^2+2(3h-1)+1=27h^3-27h^2+9h-1+18h^2-12h+2+6h-2+1=27h^3-9h^2+3h$ che è un multiplo di 3.
dunque $(n+1)^5-(n+1)$ è divisibile per 30.
c.v.d.

spero di non aver commesso errori e di essere stata chiara. ciao.

[raff5184]

ti ringrazio; si si tutto molto chiaro.

[adaBTTLS]

prego.