Definizione di campo dei numeri complessi

[Lorin]

Allora altro dubbio che mi è sorto riguardando gli appunti del precorso.

Il professore ci ha detto che $CC = (RR^2,+,*)$ che è la definizione del campo dei numeri complessi

Ora però aiutandomi con internet per mettere a posto gli appunti, mi sono accorto che su wikipedia mi dice che:

$RR^2 = RR x RR$ è un anello ma non un campo perchè l'elemento (1,0) non ha un inverso.

Qui qui non ho capito.

[pic]

Eh, dipende da come metti somma e prodotto.. probabilmente la wiki mette prodotto (a,b)(c,d)=(ac,bd), mentre il prodotto tra complessi è un po' diverso. Prova tu a verificare che col prodotto tra complessi quell'insieme è un campo.

[matths87]

Devi far attenzione a come definisci il prodotto in $RR^2$. Prova a postare come ha definito il prodoto in $(RR^2,+,*)$ il tuo professore, così vediamo.

[Lorin]

Ehm...

prima però vorrei sapere se qualcuno mi sa dire dove psso trovare qualche informazione su $RR^2$ perchè il mio professore le dava per scontate e allora è forse li che c'è qualcosa che io non ho capito.

[pic]

Sai chi è $RR^2$ ? E' il prodotto cartesiano di $RR \times RR$. Cosa ti serve ancora?

[Lorin]

si questo lo sapevo, ma volevo sapere se c'era qualcos'altro da sapere

[pic]

Allora...

noi possiamo dare ad $RR^2$ una struttura di anello che non sia un campo. Ad esempio quella che fa le operazioni "componente per componente". Quell'anello non è nemmeno un dominio di integrità. Oppure possiamo definire la somma "componente per componente" e il prodotto $(a,b)(c,d)=(ac-bd,ad+bc)$, e questo ci rende $RR^2$ un campo. Come si dimostra? Lascio a te il gusto di farlo. Sappi che l'elemento neutro rispetto alla moltiplicazione è (1,0).

Ora, non è che ci siano proprietà intrinseche al riguardo. Che $RR^2$ dovesse essere un campo, in qualche modo, è ovvio. In particolare, esistono campi di qualsiasi cardinalità infinita, dunque ogni insieme infinito è un campo. Per quanto riguarda gli insiemi finiti, sappiamo che le possibili cardinalità sono tutte e sole le potenze di primi, quindi ad esempio $Z_6$ non può essere un campo. dico questo per darti l'idea che queste strutture possano essere molte volte "calate dall'alto".

[Chevtchenko]

In particolare, esistono campi di qualsiasi cardinalità infinita, dunque ogni insieme infinito è un campo.

Mi permetto di precisare, perché la frase potrebbe essere fraintesa da qualcuno meno smaliziato: ogni insieme infinito è il sostegno di un campo.