$0^0$: qualche cosa non mi torna...

[G.D.]

Signori, buona notte!
Stamane in luogo del nostro docente di Analisi Matematica è venuto a trovarci il suo "collaboratore", i.e. il nostro "esercitatore". Non ricordo precisamente in che modo (erano le 14.00 e sveglio dalle 5.00 cominciavo a perdere colpi), ma è venuta fuori la domanda "Quanto fa $0^0$?", posto dall'amico di cui prima ad una mia collega. La risposta è stata immediata: $1$; il motivo della risposta banale: il giorno prima il docente di Algebra aveva introdotto ricorsivamente le potenze mediante il principio di induzione, andando a porre $0^0=1$.
La risposta dell'"esercitatore" mi ha però colpito: "Lei è sicura che sia esattamente così? Pensateci bene: non sempre fa $1$. Pensate al perché non può fare sempre $1$...".
Dando per scontato che il prof. di Algebra non si sia rincoglionito, e atteso che anche l'Acerbi-Buttazzo pone $0^0=1$, la domanda sorge spontanea: quali difficoltà crea una definizione universale di $0^0=1$?

Io, per il momento, ho pensato che se si pone sempre $0^0=1$ e si guarda alle proproietà delle potenze fuori dall'aritmentica, allora accade che $1=\frac{1}{1}=\frac{1^0}{0^0}=(\frac{1}{0})^{0}$, andando in pratica a dare un senso alla scrittura $\frac{1}{0}$, mentre un senso questa scrittura non ce l'ha.

Altre idee, informazioni, notazioni, ammonizioni perché forse sono io che ho inteso male le sue parole...

Intanto, una serena notte a tutto il forum.

[Fioravante Patrone]

Da me non può venire altro che un'ammonizione.
Da un vecchietto del forum come te, mi sarei aspettato un uso doveroso della funzione "Cerca".
Fallo e troverai 42.

[Luca.Lussardi]

$0^0$ è forse la discussione più accesa che sia mai accaduta sul nostro forum, dovremmo scrivere un libro sull'argomento.

Comunque sia le affermazioni del tuo esercitatore non mi trovano molto d'accordo. In Analisi si pone $1=0^0$, bisogna solo stare attenti ad enunciare per bene tutte le proprietà delle potenze.

[G.D.]

Da me non può venire altro che un'ammonizione.
Da un vecchietto del forum come te, mi sarei aspettato un uso doveroso della funzione "Cerca".
Fallo e troverai 42.

Beh, prima di postare l'ho fatto: ho cercato potenza $0^0$ ed ho avuto 1524 risultati su 153 pagine, poi ho cercato $0^0$ e non ho avuto risulatati.
Tra i risultati della prima ricerca soono venuti fuori questo topic e quest'altro topic, ma onestamente non ci ho trovato molta utilità per capire dove l'"amico friz" voleva arrivare a parare con la sua domanda: ho solo capito che a volte si pone e a volte no. Quindi il topic.

$0^0$ è forse la discussione più accesa che sia mai accaduta sul nostro forum, dovremmo scrivere un libro sull'argomento.

Comunque sia le affermazioni del tuo esercitatore non mi trovano molto d'accordo. In Analisi si pone $1=0^0$, bisogna solo stare attenti ad enunciare per bene tutte le proprietà delle potenze.

Beh, sì: basta porre $0^0:=1$ e lasciare lo $0$ fuori dalle proprietà delle potenze che riguardano la divisione e gli esponenti negativi (la qual seconda cosa già avviene indipendentemente dalla disputa su $0^0$).



Ad ogni modo, lo scopo del mio topic non è discutere sul fatto che $0^0$ sia da tutti e in tutti i settori definito o sia da tutti e in tutti i settori lasciato indeterminato. Lo scopo del topic è capire quali inconvenienti porta una definizione $0^0=1$ in ogni circostanza: se, infatti, il prof. di Algebra, Luca e un testo di Analisi pongono $0^0=1$ e poi arriva l'esercitatore che dice che non sempre è così, devo supporre che un motivo ci sia.

[adaBTTLS]

visto che ad un paio delle 42 discussioni ho partecipato anch'io, e mi ricordo di aver trascurato di dire una cosa, approfitto per aggiungerla ora:

$lim_(x->0)\0^x\=0$

$lim_(x->0)\x^0\=1$

$lim_(x->0)\x^x\=1$

ciao.

[G.D.]

visto che ad un paio delle 42 discussioni ho partecipato anch'io, e mi ricordo di aver trascurato di dire una cosa, approfitto per aggiungerla ora:

$lim_(x->0)\0^x\=0$

$lim_(x->0)\x^0\=1$

$lim_(x->0)\x^x\=1$

ciao.

Perdomani ma... erogo?

[adaBTTLS]

gli ultimi due limiti portano a 1, ma il primo porta a 0.
nelle discussioni precedenti, tra cui una in particolare a cui abbiamo partecipato sia io sia tu sia Fioravante, ricordo che Fioravante aveva parlato di algebristi (puri, vecchio stampo, come mi dovetti sentire allora io) che volevano che lo zero fosse un numero naturale mentre altre posizioni erano per considerare 1 il primo numero naturale. nell'ambito dello stesso topic se non mi sbaglio proprio tu avevi sollevato la stessa questione di ora:
scrivendoti questi limiti io sono per dire che da analista sarei più per il valore 1 (è il terzo limite non citato in quell'occasione, secondo me, a fare la differenza), però rimango pur sempre una purista algebrica, per cui dico che $0^0$, scritto così non significa nulla, come non significa nulla $0/0$: sono entrambe operazioni non ammesse, valgono solo come limiti...
se come limiti non assumono sempre lo stesso valore che cosa puoi concludere?

P.S.: ho ritrovato quel topic cercando proprio il tuo nome. ecco il link:

https://www.matematicamente.it/forum/chi ... tml#231384

ciao.

[G.D.]

OK. Grazie a tutti.