$a_1x^2+a_2y^2=a_3z^2$

[Lord K]

Siano $a_1,a_2,a_3 in NN$ tali che $gcd(a_i,a_j)=1$ per $i!=j$, cerchiamo un criterio generale di esistenza delle soluzioni e se c'è una formula per calcolarle!

L'equazione sotto la lente è:

$a_1x^2+a_2y^2=a_3z^2$

Proviamoci assieme

[krek]

Scusa ma non vedo il problema

se gli $a_i$ son tutti primi tra loro basta che siano dei quadrati e la formula ha sempre soluzione.

Puoi spigarti un po meglio che forse ho capito male io il problema o forse manca qualche dato in più che ritieni sottinteso.

[Lord K]

Ok questa è una esistenza ma non ancora completa visto che in quel caso mi manca di sapere come sono le soluzioni, ma se invece gli $a_i$ non sono quadrati??

Io sto meditando sulle soluzioni possibili e tra breve posto qualche idea.

[Benny]

Avrebbe senso riscriverla come $a_1(x/z)^2+a_2(y/z)^2=a_3$ e porre $s=x/z$ e $t=y/z$ ??

P.S. Con $gcd$ intendi $mcd$, giusto?

[Lord K]

In inglese gcd= greater common divisor, ovvero massimo comune divisore!

[Lord K]

Avrebbe senso riscriverla come $a_1(x/z)^2+a_2(y/z)^2=a_3$ e porre $s=x/z$ e $t=y/z$ ??

P.S. Con $gcd$ intendi $mcd$, giusto?

Dopo che si evidenzia e si esclude il fatto che una soluzione è banalmente $(0,0,0)$ allora è palesemente corretto!

[Lord K]

Qui molto utile è la seguente uguaglianza (Euler):

$alpha*b*(alpha*p*r+-beta*q*s)^2+a*beta*(alpha*p*s-+b*q*r)^2=(a*alpha*p^2+b*beta*q^2)*(a*b*r^2+alpha*beta*s^2)$

nel nostro caso però $a_3$ dovrebbe essere composito...

[krek]

Vuoi scrivere un libro sulle quadriche ?

A mio parere è una generalizzazione un pò troppo ampia.

[Lord K]

Semplicemente mi piace molto l'argomento! Sì è un argomento ampio di certo, vedrò di riproporre esempi meno ampi.