Nmeri naturali e assiomd Peano.

[G.D.]

Gli assiomi di Peano forniscono una assiomatizzazione dei numeri naturali, alla quale ogni modello di numeri naturali deve sottostare. Nel suo lavoro Peano assunse come primitivo il concetto di numero.

Usando la Teoria degli insiemi si può definire i numeri naturali come classi di equipotenza: $0:=cadr(emptyset), 1:=card(emptyset^{+}),...$.

Cinque minuti fa ho letto che usando la teoria assiomatica ZFC, non è possibile costruire i naturali usando le cardinalità. Qualcuno sa dirmi il perché?

[gugo82]

WiZ, scusa la curiosità, potrei sapere quali assiomi ti hanno dato per $NN$?

Mi ricordo il mio primo impatto con l'Analisi... Le primissime dispense che ci diede il nostro prof. di Analisi I riguardavano la "Teoria dei Numeri", cioè la costruzione assiomatica di $NN$ e di tutti gli altri insiemi numerici a partire da questo (ossia $ZZ$ da $NN$, con simmetrizzazione del monoide $NN$; $QQ$ da $ZZ$ con immersione del d.d.i. $ZZ$ nel suo campo dei quozienti; $RR$ da $QQ$, col metodo delle sezioni di Dedekind): il fascicolo iniziava più o meno così:

Supponiamo l'esistenza di un insieme non vuoto, che denoteremo con $NN$, e di una funzione $c:NN\to NN$ (detta consecutivo o successore) che godano delle seguenti proprietà:

1) $c$ è iniettiva ma non suriettiva;

2) esiste un unico elemento $0\in NN$ tale che $0\notin c(NN)$;

3) comunque si scelga $T\subseteq NN$ l'essere:

$0\in T\quad $ e $\quad AA n in NN, n\in T \Rightarrow c(n) \in T$

implica $T=NN$ (Principio d'induzione completa).

La cosa che mi colpì maggiormente fu il verbo "supponiamo", con cui cominciavano i miei nuovi studi universitari.

[G.D.]

Caro Gugo, amico mio, il problema è proprio che questo non è argomento dibattuto durante le lezioni. Quel poco che conosco e le domande che faccio sono totalmente frutto del mio privato spulciare documenti a destra e a sinistra.
Quindi le domande che pongo possono anche essere mosse dall'ignoranza.

Cominciamo dalle nozioni che ho.

Assiomi di Peano Esiste un insieme $NN$, detto insieme dei numeri naturali, avente le seguenti proprietà:
1) $0 in NN$
2) Esiste un'applicazione $sigma: NN to NN$, detta applicazione del successivo (o successore)
3) $0 notin sigma(NN)$
4) $forall x, y in NN, x!=y=>sigma(x)!=sigma(y)$
5) $[S subseteq NN ^^^ 0 in S ^^^ (n in S => sigma(n) in S)] => S=NN$
Peano nei suoi assiomi assume come primitivi i concetti di numero naturale, successore e $0$.

I cinque assiomi di Peano danno una sistemazione assiomatica rigorosa all'insieme dei numeri naturali (daltronde Peano voleva fare proprio questo), ma che $NN$ comunemente inteso sia derivabile dagli assiomi precedenti non significa che gli assiomi precedenti ci dicono che esiste un unico insieme con quelle proprietà.

Infatti se $(NN,sigma,0)$ e $(NN',sigma',0')$ sono due terne di Peano, allora $NN$ e $NN'$ sono isomorfi. Quindi gli assiomi permettono di individuare $NN$ nel senso che l'insieme che li verifica è unico a meno di isomorfismi.
Per esempio, se prendiamo l'usuale $NN$ e la sua parte $P_{NN}$ costituita dai sui numeri pari e consideriamo le applicazioni di successivo definite da $sigma(n)=n+1$ per $NN$, e $sigma'(m)=m+2$ per $P_{NN}$, allora le terne $(NN,sigma,0)$ e $(P_NN,sigma',0)$ sono entrambe terne di Peano, quindi $NN$ e $P_NN$ sono entrambi insiemi che rispettano i cinque assiomi. Ma la cosa importante è che sono isomorfi e tanto basta per ritenere che gli assiomi permettano di individuare l'insieme $NN$ dei numeri naturali cmunemente inteso.


Nella sua trattazione Peano assunse come primitivo il concetto di numero, quindi non diede una definizione di numero naturale, ne assunse l'esistenza per la gioia di noi tutti.
Poichè in matematica è più importante sapere come si comportano gli enti studiati, rispetto al sapere essi come sono partoriti (parafrasando De Arcangelis quando introdusse $RR$), volendo fare un esercizio di stile, si possono costruire i numeri naturali, o meglio, si può costruire un modello di numeri naturali.

Un modello dei numeri naturali è l'insieme dei cardinali finiti, attraverso la posizione $0:=card)emptyset), 1:=card({emptyset}), ldots$. Ma ho letto che questo modello non è ammissibile in ZFC, perché l'insieme delle cardinalità in ZF non è un insieme e quindi, non è trattabile; domanda: perché?

Se il modello dei cardinali finiti non è un buon modello di numeri naturali in ZFC, qual è (ammesso che si possa costruire in ZFC) un buon modello di numeri naturali?

Questo è quello che conosco: spero di avere reso più comprensibili quali erano le domande e mi scuso per non essere stato maggiormente preciso in precedenza.
Ovviamente, se ho sbagliato a comprendere qualche cosa, ragione per cui le domande non hanno senso di essere, si accettano correzioni.

P.S.
Mi scuso per avere risposto così tardi, ma ho avuto da fare.

[gugo82]

Ah, hai seguito Analisi I con De Arcangelis... Era il primo anno che teneva il corso, se non sbaglio.

Ad ogni modo non ne so molto di modelli per $NN$ (anche perchè, per l'analista, non ha molta importanza possedere un modello dei naturali quanto conoscerne le proprietà); mi pare di ricordare che si può porre $0:=\emptyset, 1:=\{ \emptyset \} , 2:=\{ \emptyset ,\{ \emptyset \} \} ,\ldots$ per ottenere un buon modello, però non sono sicuro su come proseguire.
Per informazioni più precise, se non ricordo male, potresti guardare le dispense del corso di Fondamenti del prof. Tortora (probabilmente le trovi in biblioteca).


P.S.: Che gli assiomi individuino la struttura a meno di isomorfismi è nalla natura "algebrica" delle cose.
E con il comunemente inteso ci andrei cauto... Sei tu che stai definendo $NN$, gli altri si devono accodare.

[G.D.]

Ah, hai seguito Analisi I con De Arcangelis... Era il primo anno che teneva il corso, se non sbaglio.

Ad ogni modo non ne so molto di modelli per $NN$ (anche perchè, per l'analista, non ha molta importanza possedere un modello dei naturali quanto conoscerne le proprietà); mi pare di ricordare che si può porre $0:=\emptyset, 1:=\{ \emptyset \} , 2:=\{ \emptyset ,\{ \emptyset \} \} ,\ldots$ per ottenere un buon modello, però non sono sicuro su come proseguire.
Per informazioni più precise, se non ricordo male, potresti guardare le dispense del corso di Fondamenti del prof. Tortora (probabilmente le trovi in biblioteca).


P.S.: Che gli assiomi individuino la struttura a meno di isomorfismi è nalla natura "algebrica" delle cose.
E con il comunemente inteso ci andrei cauto... Sei tu che stai definendo $NN$, gli altri si devono accodare.

Sì, lo scorso anno ho seguito Analisi 1 con De Arcangelis: per la verità ho seguito solo il primo mese e mezzo.
Quest'anno sto riseguendo Analisi 1 con Canfora: lo conosci?

Quanto al problema oggetto del nostro contendere, la storia dell'importanza delle proprietà la sento raccontare da tutti gli analisti: caspita come vi piace sapere come si comportano i numeri

Attraverso la tua posizione, i numeri naturali diventano particolari tipi di insiemi e $NN$ diventa il più piccolo insieme induttivo, cioè, a intuito, l'intersezione di tutti gli insiemi che fanno parte della potenza dell'insieme induttivo postulato dall'assioma dell'infinito: concordi?
In questo modo $NN$ è costruibile compatibilmente con gli assiomi di $ZF$.

La definizione dei $NN$ come insieme delle cardinalità finite (e quindi l'uso dei cardinali finiti come modello di $NN$) credo sia possibile nell'assiomatica di Von Neumann, nella quale dovrebbe essere presente il concetto di classe: l'insieme di tutte le cardinalità dovrebbe essere una classe, perché, a intuito, direi che dovrebbe contenere tutti gli insiemi (insieme di tutti gli insiemi), concetto che non definisce un insieme ma una classe. Condividi?

Quanto agli appunti di Tortora, settimana scorsa andai a prendere gli appunti di Giordano e dietro di me c'erano due signorine che chiedevano quelli sulla Teoria degli Insiemi, mi pare, proprio di Tortora: per avere gli appunti dal centro stampa occorre lasciare il numero di matricola, credo che suonerebbe strano una matricola del primo anno che chiede gli appunti di fondamenti ... aspetterò che il tempo faccia il suo corso.

Grazie di tutto. Una serena notte.