Classi di equivalenza in una relazione

[Michele74]

Ciao a tutti, vorrei capire come individuare le classi di equivalenza in una relazione. Per esempio: in una relazione d'equivalenza dove le coppie x,y appartengono ai numeri interi e x-3y è multiplo di 2, come faccio a sapere quali e quante sono le classi di equivalenza di questa Relazione.
Grazie e ciao
Michele

[adaBTTLS]

benvenuto nel forum.

se y è dispari, lo è anche 3y,
dunque se x ed y sono entrambi pari oppure entrambi dispari, x-3y è pari.
questo già basta a dividere l'insieme dei numeri interi in due parti: i numeri pari ed i numeri dispari.
tutti i numeri pari sono in relazione tra loro; tutti i numeri dispari sono in relazione tra loro.
quindi ci sono due classi di equivalenza: {pari}, {dispari}.

spero di essere stata chiara. ciao.

[krek]

@ adabtts

si può scrivere?

$n-=3y$ $mod 2$

E dire direttamente che esistono due classi di equivalenza?

[Lord K]

Esattamente si pone che le classi di equivalenza sono le seguenti:

$[3]_a={n in NN: n \equiv 3 mod a}$

Nel caso dell'esempio riportato:

$xRy \hArr x-3y\equiv 0 mod 2$

E quindi per conoscere le classi di $1$ per esempio:

$[1]_2^R={y in NN: 1 \equiv 3y mod 2}$

ovvero tutti i dispari!

$[0]_2^R={y in NN: 0 \equiv 3y mod 2}$

ed in questo caso tutti i pari. La relazione quindi è dire se entrambi i numeri $x,y$ sono entrambi pari o entrambi dispari.

[Lord K]

@ adabtts

si può scrivere?

$n-=3y$ $mod 2$

E dire direttemente che esistono due classi di equivalenza?

Non $n$, ma $x$ per il resto è corretto!

[krek]

@ adabttls

Ogni tanto mi parte una lettera al posto di un'altra

Grazie

quindi se $x,y,k$ sono interi $n$ è un numero primo

se ho $x-=ky$ $mod$ $n$

le classi di equivalenza sono sempre n?

[adaBTTLS]

@ krek

scusa, ma quando ho "abbandonato il campo" mi sono addormentata (avevo un po' di sonno arretrato!)
adesso ho visto questi messaggi ed il tuo tentativo di generalizzazione....
non sono molto lucida, ma ni pare che n primo non c'entri nulla, casomai k primo....
penso di sì, con k primo e quella relazione tra x ed y vengono n classi di equivalenza.

ciao.

EDIT: riflettendoci un attimo, la condizione per poter dire che si hanno n classi di equivalenza se vale quella relazione tra x ed y è che MCD(k,n)=1,
cioè k primo con n.

[Michele74]

Grazie a adaBTTLS e a tutti gli altri, ma c'è ancora qualcosa che vorrei sapere: c'è una regola/formula generale per conoscere le classi di equivalenza di qualsiasi relazione? Nella relazione a e b appartengono ai numeri interi e a-5b è un multiplo di 4. Se non sbaglio anche in questo caso a e b devono essere entrambi pari o entrabi dispari ma non tutti i valori soddisfano la relazione, (1,5) e (1,9) la soddisfano ma (1,7) no. Ci sono regole generali per stabilire le classi di una relazione?
Grazie

[adaBTTLS]

prego.
questo nuovo esempio fa parte della categoria indicata da krek.
a-5b=4k
vuol dire che a e 5b sono congrui modulo quattro, nel senso che il resto della divisione per quattro di a e di 5b è lo stesso.
siccome MCD(4,5)=1, questo è anche un modo per verificare se quello che ho scritto alla fine del messaggio precedente, alla luce del messaggio di krek, è corretto.
cioè a,b sono in relazione se e solo se $abar=b (mod" "4)$
quindi 1 è in relazione con 1,5,9,13,17,21,...,4k+1,...
2 è in relazione con 2,6,10,...,4k+2,....
3,7,11,15,...,4k+3,.... formano un'altra classe di equivalenza, e l'ultima è
4,8,12,16,...,4k,.... (cioè i multipli di quattro)

le quattro classi sono appunto le classi di congruenza modulo 4: [0],[1],[2],[3], se hai visto usare questo simbolo: tra parentesi quadre un rappresentante della classe, scritto così il resto della divisione per 4.

spero di essere stata chiara. ciao.