Uguaglianza matematica

[fabajp]

Qual è il vero concetto di uguaglianza in matematica ?
Ad esempio se a = b vuol dire che a e b si riferiscono al medesimo ente oppure che il significato di a è simile al significato di b. In conclusione la relazione di uguaglianza è per i simboli o per gli enti matematici ?
Altri esempi che mi creano confusione sono : r II s < == > r = s oppure (aut) r intersezione s = insieme vuoto . (la relazione r II s si riferisce ai simboli perché tutte le rette sono uguali tra loro);
a + b = b + a (uguaglianze tra simboli contenenti segni operativi);
se V3 è l'insieme dei vetori liberi dello spazio allora posso considerare V3 x V3 , cioè l'insieme delle coppie ordinate di elementi di V3 : alla coppia ( u,u ) si deve pensare a due simboli aventi lo stesso significato o a due vettori uguali e distinti ?
Grazie.

[leev]

Un'apparizione col botto per fabajp
Benvenuto

(io evito di dire corbellerie...;P)

[codino75]

la domanda sembra talmente profonda che non l'ho nemmeno capita.

[Martino]

la domanda sembra talmente profonda che non l'ho nemmeno capita.

Quoto

[vict85]

Qual è il vero concetto di uguaglianza in matematica ?
Ad esempio se a = b vuol dire che a e b si riferiscono al medesimo ente oppure che il significato di a è simile al significato di b. In conclusione la relazione di uguaglianza è per i simboli o per gli enti matematici ?
Altri esempi che mi creano confusione sono : r II s < == > r = s oppure (aut) r intersezione s = insieme vuoto . (la relazione r II s si riferisce ai simboli perché tutte le rette sono uguali tra loro);
a + b = b + a (uguaglianze tra simboli contenenti segni operativi);
se V3 è l'insieme dei vetori liberi dello spazio allora posso considerare V3 x V3 , cioè l'insieme delle coppie ordinate di elementi di V3 : alla coppia ( u,u ) si deve pensare a due simboli aventi lo stesso significato o a due vettori uguali e distinti ?
Grazie.

L'uguale che si usa generalmente ha il significato di equivalenti, cioé ciò che c'é a destra e ciò che c'é a sinistra sono due modi (o a volte nomi) per indicare la stessa cosa. Di fatto si riferisce allo stesso oggetto.

Una relazione di equivalenza indica che i due elementi sono in relazione tra loro. Due rette parallele, per esempio, appartengono alla stessa classe di equivalenza (la relazione è quella di parallelismo). Io non userei comunque l'$=$ tra di loro a meno che non ci troviamo nell'insieme quoziente.

$a+b=b+a$ indica che i due elementi commutano, dal punto di vista dell'ugualianza vuol dire solamente che la somma è la stessa.

Riguardo a $V = V_3 \times V_3$, nella coppia $(u,u)$ le due u si riferisono allo stesso elemento dell'insieme $V_3$.

In questo caso è più corretto parlare di referente che di significato. Nel senso che i due lati dell'ugualianza hanno lo stesso referenze cioé si riferiscono allo stesso oggetto matematico.

[Lord K]

L'uguaglianza è un concetto parecchio filosofico, ma diciamo che può essere riassunto come segue:

"Due numeri si dicono uguali se inseriti in qualsivoglia equazione o espressione ottengono lo stesso risultato."