Quali delle seguenti applicazioni sono omomorfismi?

[Haligh]

Salve a tutti, questo è il mio primo topic, spero che qualcuno riesca ad aiutarmi.
Devo risolvere un esercizio il cui testo è: Dato l'insieme G delle successioni reali convergenti, si dica quali delle seguenti applicazioni $f: G \to RR$ sono omomorfismi dal gruppo $(G, +)$ al gruppo $(RR, +)$.
1) $f((a_n)_ninNN))=5lim_{n \to \infty}a_n$
2) $f((a_n)_ninNN))=a_1*a_2$
3) $f((a_n)_ninNN))=0$
4) $f((a_n)_ninNN))=5lim_{n \to \infty}(-a_n)$

Non so se la formattazione va benissimo (è il mio primo post qui), però mi sembra si capisca. Mi servirebbe sapere il ragionamento e anche il procedimento, perché io ho studiato la teoria ma non ho ben capito come applicarla. Grazie mille per l'aiuto.

[miuemia]

per 1 e 4 dovresti prima dimostrare che il limite della somma è la somma dei limiti per successioni convergenti e dopodichè il rislutlato segue facilmente.
il 3 è ancora più semplice, perchè manda tuto a 0.
il 2 mi lascia perplesso perchè nn capisco come definire il primo e il secondo termine di una successione prodotto di altre due.

[gugo82]

Come faceva notare miuemia, le applicazioni definite dalle assegnazioni 1 e 4 sono omomorfismi (in particolare epimorfismi) grazie al teorema sulla somma dei limiti; quella definita dall'assegnazione 3 è l'applicazione nulla, che è sempre un omomorfismo; la 2 invece no: infatti hai $(a_n)+(b_n) := (a_n+b_n)$ e perciò:

$f((a_n)+(b_n)) =f((a_n+b_n))=(a_1+a_2)(b_1+b_2) != a_1a_2+b_1b_2=f((a_n))+f((b_n))$.