Cuboide perfetto

[Lord K]

Si definisce cuboide perfetto un cubo di spigoli $a,b,c in NN$ tali che tutte le sue diagonali siano intere. Qualche idea su come procedere?

Hint: pare che nel 2004 abbiano dimostrato "costruendoli" che non ce ne sono di non banali fino a valori di $a,b,c<10^10$

[adaBTTLS]

due domande: "tutte le sue diagonali" si riferisce sia alle diagonali delle facce sia del parallelepipedo?
"idea su come procedere" si riferisce a che cosa? dimostrare che non ci sono soluzioni non banali per valori maggiori di a,b,c o trovare tutte le soluzioni o trovare qualche soluzione non banale?
ciao.

[Lord K]

Richiedo un modo per trovare delle soluzioni non banali... e tutte le diagonali sono sia quelle delle varie facce, sia quella del parallelepipedo

P.S. ho avuto troppa foga a scrivere , Grazie Ada

[adaBTTLS]

di nulla... tutti questi problemi che poni sono classici o li stai studiando per un corso di matematica discreta?

[Lord K]

Li studio per diletto, mi interesso molto di teoria dei numeri! Non ho avuto la possibilità di fare corsi specifici ma da quando ho un poco di tempo libero me ne dedico corpo e anima

[Lord K]

Un tentativo:

Siano $a,b,c$ gli spigoli del parallelepipedo, il nostro interesse è nei tre numeri così creati:

$d_{ab}= sqrt(a^2+b^2)$
$d_{bc}= sqrt(b^2+c^2)$
$d_{ca}= sqrt(c^2+a^2)$

ed infine:

$d_{abc}= sqrt(c^2+a^2+b^2)$

Voglio usare i risultati delle terne di euclide sulle prime tre diagonali ed infine ricavare una relazione affinchè la diagonale "principale" sia intera, dunque ho qualche possibilità:

$d_{ab}in NN rightarrow {(a=u_0^2-v_0^2),(b=2u_0v_0):} vv {(a=2u_0v_0),(b=u_0^2-v_0^2):}$
$d_{bc}in NN rightarrow {(b=u_1^2-v_1^2),(c=2u_1v_1):} vv {(c=u_1^2-v_1^2),(b=2u_1v_1):}$
$d_{ca}in NN rightarrow {(c=u_2^2-v_2^2),(a=2u_2v_2):} vv {(a=u_2^2-v_2^2),(c=2u_2v_2):}$

Le possibilità da verificare sono $8$. Procedo dunque per passi...

[adaBTTLS]

l'altro giorno si chiacchierava con un collega laureato in Fisica ... il quale ha trovato molto interessante il problema.
forse ho fatto confusione nel riferire quello che si sa, cioè circa $n$ maggiore o minore di $10^10$.
abbiamo però riflettuto sulla questione "soluzioni non banali" che assumerebbe connotati diversi a seconda che sia stato verificato "che non esistono soluzioni non banali per n > o n < di 10^10".
per soluzioni non banali intendiamo a,b,c diversi da zero? oppure che una soluzione non è ottenuta da una precedente semplicemente moltiplicando per lo stesso fattore a,b,c ?

inoltre ti chiedo: hai visto questo sito? ti sei ispirato proprio da lì?

http://mathworld.wolfram.com/PerfectCuboid.html

ciao.

[Lord K]

Preso proprio da lì! Leggo molto spesso MathWorld! E meritava spendere 4 chiacchiere con persone come quelle di questo forum.

Le soluzioni banali sono solo quelle derivate da altre o quella nulla!