Gruppi nilpotenti

[NightKnight]

Sia G un gruppo.
Indico con $e$ l'elemento neutro di G.
Per ogni $S \subseteq G$ indico il sottogruppo generato da S con i simboli $<S> \ = \ < \ s \ | \ s in S \ >$.
Per ogni $x, y in G$ definisco commutatore di x e y l'elemento $[x,y] \ := \ xyx^(-1)y^(-1)$

Definisco la successione ${G_(i)}_{i in NN^+}$ di sottogruppi di G nel seguente modo ricorsivo:
$G_(1) \ := \ [G,G] \ := \ < \ [x,y] \ | \ x,y in G >$
$G_(i+1) \ := \ [G,G_(i)] \ := < \ [x,y] \ | \ x in G, y in G_(i) >$
Si verifica facilmente per induzione che i $G_i$ sono sottogruppi caratteristici di $G$, cioè sono invarianti per ogni automorfismo di $G$:
$forall psi in Aut(G) \ \ psi(G_i) \subseteq G_i$.
Altrettanto facilmente si dimostra per induzione che i $G_i$ formano una catena, cioè sono uno incluso nel precedente: $G_i \supseteq G_(i+1)$.

Definisco poi la successione ${Z_i}_{i in NN^+}$ di sottoinsiemi di G nel seguente modo ricorsivo:
$Z_1 \ := \ Z(G) \ := \ {x in G|forall g in G \ gx=xg} \ = \ {x in G|forall g in G \ [x,g]=e}$ (centro di G)
$Z_(i+1) \ := \ {x in G|forall g in G \ [x,g] in Z_i}$
Si dimostra per induzione che gli $Z_i$ formano una catena, cioè sono uno incluso nel successivo: $Z_i subseteq Z_(i+1)$.

Dimostrare che:
1) $forall i in NN^+, \ \ Z_i \ <_{car} \ G$ cioè $Z_i$ è un sottogruppo caratteristico di $G$.
2) $forall i in NN^+, \ \ Z_(i+1)/Z_i$ è il centro di $G/Z_i$.
3) i due seguenti fatti sono equivalenti:
i) $exists n in NN^+ \ : \ Z_k = G$
ii) $exists m in NN^+ \ : \ G_m = {e}$
( queste sono le due definizioni di gruppo nilpotente )

Io non riesco a dimostrare 1 e 3. Ho inserito anche il punto 2, che so fare, perché magari può servire nella dimostrazione degli altri punti.
Qualcuno potrebbe darmi una mano? Grazie!