Prodotto di due sottogruppi e normalizzatori

[NightKnight]

Sia $G$ un gruppo e siano $H,K$ suoi sottogruppi.
Siano $N(H)={n in G|nHn^(-1)=H}$ , $N(K)={n in G|nKn^(-1)=K}$ i normalizzatori in $G$ di $H$ e di $K$, rispettivamente.
Supponiamo che $HK=KH$ e che quindi questo sia un sottogruppo di $G$.

Dimostrare allora che $N(H) supseteq K$ oppure $H subseteq N(K)$.

[miuemia]

ma mi sembra abbastanza ovvio visto che hai che $HK=KH$ e quindi ad esempio
sicuramente ogni elemento di $k\in K$ appartiene a $N(H)$ in quanto devi vedere se $kHk^{-1}=H$

cioè $kH=Hk$ e questo è ovviamente verificato in quanto vale $KH=HK$

stessa cosa per l'altra inclusione.

cmq aspetta ad altri perchè io di sicuro mi sbaglierò.

[NightKnight]

$kH=Hk$ e questo è ovviamente verificato in quanto vale $KH=HK$

Puoi spiegarti meglio con un po' più di rigore?
Io non ho capito perché dovrebbe essere così ovvio

[miuemia]

se $KH=HK$ vuol dire che cmq fissi un $k\in K$ hai che $kH=Hk$ questo mi sembra abbastanza ovvio.

ed è quello che dovevi dimostrare

[Martino]

se $KH=HK$ vuol dire che cmq fissi un $k\in K$ hai che $kH=Hk$ questo mi sembra abbastanza ovvio.

Se è vero, mi sembra tutto fuorché abbastanza ovvio.

$HK=KH$ significa che dati $h in H$, $k in K$, il prodotto $hk$ si può scrivere come $k'h'$ con $k' in K$, $h' in H$. Come fai da qui a dedurre che $kH=Hk$ ?

Modifico: per esempio se prendi $G=S_3$ e $H=<(1\ 2)>$, $K=<(1\ 2\ 3)>$ allora $HK=KH=G$ ma $H (1\ 2\ 3) ne (1\ 2\ 3) H$.

[NightKnight]

se $KH=HK$ vuol dire che cmq fissi un $k\in K$ hai che $kH=Hk$ questo mi sembra abbastanza ovvio.

Se è vero, mi sembra tutto fuorché abbastanza ovvio.

$HK=KH$ significa che dati $h in H$, $k in K$, il prodotto $hk$ si può scrivere come $k'h'$ con $k' in K$, $h' in H$. Come fai da qui a dedurre che $kH=Hk$ ?

Era esattamente quello che pensavo io!
Infatti da $HK=KH$ deduci che:
1) $HK subseteq KH$ cioè $forall h in H, forall k in K, exists h' in H, exists k' in K : hk=k'h'$
2) $KH subseteq HK$ cioè $forall h in H, forall k in K, exists h' in H, exists k' in K : kh=h'k'$
E poi chiedo di dimostrare che $N(H) supseteq K$ oppure $H subseteq N(K)$ e non che siano vere entrambe. Mentre dal tuo "ragionamento", miuemia, si potrebbe "dedurre" che siano vere tutte e due.
Quindi Martino ti chiedo di aiutarmi in questo esercizio..

[Martino]

Quindi Martino ti chiedo di aiutarmi in questo esercizio..

Ci penso e ti faccio sapere.

[Martino]

Allora io ci ho pensato, ma purtroppo non ne ho cavato idee troppo utili.

Ho osservato che detto $V=HK=KH$, si ha $N_V(H) subseteq N_G(H)$ e $N_V(K) subseteq N_G(K)$ e quindi possiamo supporre $G=V$ (perché se mostriamo il risultato per $V$ allora vale anche per $G$). A questo punto il problema si traduce nel seguente:

(*) "Dati un gruppo $G$ e due suoi sottogruppi $H$, $K$ tali che $HK=KH=G$, mostrare che uno almeno tra $H$ e $K$ è normale in $G$."

Ora per semplificare mi sono messo a studiare il caso in cui $H nn K = 1$ (sperando di potermici ricondurre quozientando opportunamente), con la speranza che la teoria dei complementi mi potesse aiutare (un complemento di un sottogruppo $H$ è proprio un sottogruppo $K$ tale che $H nn K = 1$ e $HK=G$). Purtroppo però quando si parla di complementi lo si fa sempre in riferimento a sottogruppi normali, non ho trovato teorie sui complementi di sottogruppi non-normali.
L'ipotesi $H nn K=1$ si traduce volendo in "per ogni $g in G$ le scritture $g=hk$, $g=k'h'$ con $h,h' in H$, $k,k' in K$ sono uniche", oppure in "$H$ contiene esattamente un elemento di ogni laterale sinistro di $K$, ed esattamente un elemento per ogni laterale destro di $K$; e viceversa". Forse queste formulazioni possono essere utili.

Se l'enunciato fosse vero mi spiegherebbe molte cose sui complementi e ne sarei contento.

PS: poi magari c'è una soluzione semplice ed evidente, ma non la vedo...

[miuemia]

avete entrambi ragione... ho sbagliato clamorosamente, come sempre del resto.
una domanda ma dalle ipotesi cioè che $HK=KH$ si può dire che $H$ è un sottogruppo normale in $HK$ e stessa cosa dicasi per $K$??

[fields]

Sia $G$ un gruppo e siano $H,K$ suoi sottogruppi.
Siano $N(H)={n in G|nHn^(-1)=H}$ , $N(K)={n in G|nKn^(-1)=K}$ i normalizzatori in $G$ di $H$ e di $K$, rispettivamente.
Supponiamo che $HK=KH$ e che quindi questo sia un sottogruppo di $G$.

Dimostrare allora che $N(H) supseteq K$ oppure $H subseteq N(K)$.

Falso.

Consideriamo $S_4$, il gruppo delle permutazioni di 4 oggetti. Siano $H$ un 3-Sylow e $K$ un 2-Sylow di $S_4$, rispettivamente di ordine 3 e 8. Chiaramente $HK=S_4=KH$.

Le permutazioni di ordine 3 sono 8, e dunque i 3-Sylow sono 4, e dunque $|N(H)|= 6$.

Inoltre tutte le permutazioni diverse dall'identita' sono di ordine 2, 3 o 4. Ne segue che gli elementi di ordine 2 o 4 sono 24-8-1=15. Dunque i 2-Sylow devono essere in numero maggiore di 1, poiche' ogni permutazione di ordine 2 o 4 e' contenuta in un 2-Sylow (e' noto che in generale ogni p-sottogruppo e' contenuto in un p-Sylow). Ma allora necessariamente $N(K)=K$.

Quindi ne' $N(H) supseteq K$ ne' $N(K) supseteq H$.