Elementi neutri.

[G.D.]

Sia $K$ un insieme e siano $+$ e $*$ due operazioni interne in $K$. Sia $0_{K}$ l'elemento neutro di $K$ rispetto a $+$ (i.e. $0_K + a = a = a + 0_K, forall a in K$) e sia $1_K$ l'elemento neutro di $K$ rispetto a $*$ (i.e. $1_K * a = a = a*1_K, forall a in K$).
Se $K$ è un campo si chiede che $1_K!=0_K$. Domanda: perché?
La mia risposta: perché se fosse $0_K=1_K$ allora risulterebbe $0_K=0_K * a = 1_K * a$ contro la definizione di $1_K$.
Nuova domanda: la mia risposta è sensata? Ne avete di altre?
Ultima domanda: se $K$ non fosse un campo, potrebbe essere $0_K=1_K$, oppure bisogna aggiungere qualche altra condizione oltre al non essere $(K,+,*)$ un campo? Oppure ho fatto una domanda senza senso?
Grazie.

[Martino]

Non mi risulta che si escluda il caso $1 = 0$, semplicemente di volta in volta si dice se si considera o meno questo caso.

Il fatto è che se $1=0$ allora detto $a$ un qualunque elemento di $K$ come hai scritto tu si ha $a = a*1 = a*0 = a*(1-1) = a-a = 0$ e quindi ogni $a in K$ è nullo, in altre parole $K={0}$.

Quindi dire $1 ne 0$ è equivalente a dire $K ne {0}$.

A volte per escludere il caso $K={0}$ invece di scrivere $K ne {0}$ si scrive $1 ne 0$, tutto qua. Ma se non scrivono niente considerano "buono" il caso $K={0}$ (che comunque è legittimo).

[G.D.]

Non mi risulta che si escluda il caso $1 = 0$, semplicemente di volta in volta si dice se si considera o meno questo caso.

Il fatto è che se $1=0$ allora detto $a$ un qualunque elemento di $K$ come hai scritto tu si ha $a = a*1 = a*0 = a*(1-1) = a-a = 0$ e quindi ogni $a in K$ è nullo, in altre parole $K={0}$.

Quindi dire $1 ne 0$ è equivalente a dire $K ne {0}$.

A volte per escludere il caso $K={0}$ invece di scrivere $K ne {0}$ si scrive $1 ne 0$, tutto qua. Ma se non scrivono niente considerano "buono" il caso $K={0}$ (che comunque è legittimo).

Ah, ecco. Grazie mille.