Disuguaglianza per induzione

[kekko89]

Dimostrare che $(x-1)^n<=x^n-1$ con $x>1$. Allora,il caso che $n=1$ è banale. Ora moltiplico entrambi i membri per $x-1$ quindi $(x-1)^(n+1)<=x^(n+1)-1+(-x^n-x-2)$. Ora dovrei dimostrare che $-x^n-x-2$ (che è negativo)non influisce sulla disuguaglianza..ma nn capisco come!Grazie!

[Dorian]

Sia $A(x)$:=$-x^n-x-2$. Come hai detto giustamente $A(x)<0, AA x>1$. Quindi:

$(x-1)^(n+1)<=x^(n+1)-1+A(x)<x^(n+1)-1$

che è la tesi.

[strangolatoremancino]

Dimostrare che $(x-1)^n<=x^n-1$ con $x>1$. Allora,il caso che $n=0$ è banale.

Ma per $n=0$ non otteniamo $(x-1)^0<=x^0-1$ cioè $1<=1-1$ e quindi $1<=0$ ?

[kekko89]

che stupido!scusate,non so dove ho la testa oggi!!:wink:
@strangolatoremancino: hai ragione,è definita solo per $n>=1$!

[francescodd]

$(x-1)^(k+1)$ $=$ $(x-1)^k *(x-1)$ $-<$ $(x^k-1)*(x-1)$ $=$ $x^(k+1)+1-(x^k+x)$ $-<$ $x^(k+1)-1$