Gruppo per cui $f(g)=g^(-1)$ per almeno $3/4$ di $|G|$.

Messaggioda alvinlee88 » 22/10/2008, 00:48

Sia $G$ un gruppo finito, $f$ un omomorfismo di $G$ in sè per cui valga $f(g)=g^(-1)$ per almeno $3/4$ degli elementi di $G$. Dimostrare che allora $f(g)=g^(-1)$ per tutti gli elementi di $G$, e che $G$ è abeliano.

Premetto che ho la soluzione, che l'ho sbirciata e ho notato che la mia idea di fondo (che ora espongo) è giusta, ma non riesco a concludere praticamente, e come fa il mio prof non mi garba per niente, in particolare un passaggio lo trovo brutto e complicato. Chiedo quindi aiuto al forum, speranzoso come sempre.
L'idea è dimostrare che $H={ginG|f(g)=g^(-1)}$ è un sottogruppo di $G$. Se infatti così fosse, tale sottogruppo avrebbe ordine $>= [3/4|G|]+1$, dove con $[x]$ indico il minimo intero che non supera $x$, e in particolare dunque $|H|>[|G|/2]+1$, e allora avrebbe indice minore di $2$, possibile solo se $H$ è $G$ stesso (oppure basta dire "per il teorema di Lagrange"). Convinto che sia una buona strada, dimostro agile che $e$, l'elemento neutro sta in $H$ e che se $x$ sta in $H$ allora ci sta anche $x^(-1)$. Manca solo la chiusura. Ossia che presi $x,y in H$, dovrebbe essere che $xy in H$, ovvero che $f(xy)=(xy)^(-1)=y^(-1)x^(-1)$. Ma dato che $f$ è omomorfismo, $f(xy)=x^(-1)y^(-1)$,e allora la proprietà di chiusura si traduce in $xy=yx$ per ogni $x$ e $y$ in $H$, ovvero che $H$ sia abeliano. Dat oche devo dimostrare anche che $G$ è abeliano, provo a fare subito questo (Anche perchè se dimostro che $H$ è abeliano, ossia completo la dimostrazione che è un sottogruppo e che quindi è uguale a $G$, allora è ovvio che anche $G$ è abeliano. Ma dimostrare che $G$ è abeliano a senso mi risulta più facile, dato che posso parlare di $Z(G)$, mentre non credo si possa parlare di centro di $H$. dato che $H$ non so ancora se è un sottogruppo..).

Dunque:$G$ è abeliano $<=>$ $Z(G)=G$, ma per questo è sufficiente che $H subset Z(G)$, in quanto $Z(G)$ sarebbe un sottroguppo di indice minore di $2$, e dunque sarebbe tutto $G$. La proprietà $H subset Z(G)$ , ovvero $hinZ(G)$ $forall h in H$, si traduce in $Z(h)=G$ per ogni $h in H$. Questo è il punto in cui mi blocco. Come dimostro che $Z(h)=G$ per ogni $h in H$? Fatto questo, ho finito.
Mi rivolgo a voi. Grazie come sempre.
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Messaggioda irenze » 22/10/2008, 11:35

Non vedo cosa ci sia di più semplice nel dimostrare che il prodotto tra un elemento di $H$ e uno di $G$ è commutativo piuttosto che prendere solo elementi di $H$...
Irenze ;-)
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Messaggioda Thomas » 22/10/2008, 16:12

sono d'accordo con Irenze. La via straight (o come si scrive!) secondo me è:

- gli elementi di H commutano => H è un sottogruppo => H è tutto => G è abeliano.

a me non è venuta così in realtà ma la riscriverei nell'ordine sopra.

Come hint su come è venuta a me la dimostrazione di direi di provare a fare l'ultima freccia... supponendo di avere già dimostrato che quell'omomorfismo è esteso a tutto G (ed è un automosrfismo!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!)(*) ed avendolo a disposizione come fai a vedere che G è abeliano? (si fa con identità senza tirare fuori centri e robe varie...)

fatto questo dovresti avere il metodo per dimostrare tutti gli altri passaggi...

in effetti il chiedere di dimostrare che G è abeliano è un aiuto per la dimostrazione!

(*) intendo dire: supponendo che quell'omomorfismo sia esteso a tutto G ED uguale a g^-1 per ogni g...
Ultima modifica di Thomas il 22/10/2008, 16:34, modificato 2 volte in totale.
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Messaggioda Thomas » 22/10/2008, 16:15

oddio.... in effetti tu volevi un modo per continuare la tua dimostrazione, non un hint per un'altra... scusa magari ci penso...
Thomas
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Messaggioda bezout » 22/10/2008, 18:27

Dire che $xy=yx$ è come dire che 1) $x^(-1)y^(-1)xy=1$ visto che $x,y in H$ e quindi $x^(-1) , y^(-1) in H$
Allora se dimostro 1) ho fatto. So che $f(xy)=(xy)^(-1)=y^(-1)x^(-1)$ ma siccome f è omomorfismo $f(xy)=f(x)f(y)=x^(-1)y^(-1)$ allora $y^(-1)x^(-1)=x^(-1)y^(-1)$ allora moltiplico prima per $x$ quindi $y^(-1)x^(-1)x=x^(-1)y^(-1)x$ allora in virtù della proprietà associativa $y^(-1)=x^(-1)y^(-1)x$ poi moltiplico per $y$ quindi $y^(-1)y=x^(-1)y^(-1)xy$ allora $1=x^(-1)y^(-1)xy$ che era proprio quello che si voleva dimostrare.
Spero di non aver commesso errori troppo scemi, e di averti aiutato.
ciao
bezout
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Messaggioda alvinlee88 » 22/10/2008, 22:38

bezout ha scritto: So che $f(xy)=(xy)^(-1)=y^(-1)x^(-1)$

Questa è nè più nè meno la tesi. Il punto è proprio che non so se $xy$ sta ancora in $H$.
bezout ha scritto:spero di non aver commesso errori troppo scemi, e di averti aiutato.
ciao

Grazie del tentativo comunque!

@irenze
Cercavo di dimostrare l'abelianità per $G$ e non per $H$ perchè, dato che $G$ è un gruppo, posso parlare del suo centro, posso usare $Z(g)=G <=> g in Z(G)$ ed altre cose che mi sarebbero precluse se considerassi semplicemente $H$, dato che $H$, per ora, è solo un insieme, non ha struttura gruppale.

Thomas ha scritto:sono d'accordo con Irenze. La via straight (o come si scrive!) secondo me è:

- gli elementi di H commutano => H è un sottogruppo => H è tutto => G è abeliano.

a me non è venuta così in realtà ma la riscriverei nell'ordine sopra.

Come hint su come è venuta a me la dimostrazione di direi di provare a fare l'ultima freccia... supponendo di avere già dimostrato che quell'omomorfismo è esteso a tutto G (ed è un automosrfismo!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!)(*) ed avendolo a disposizione come fai a vedere che G è abeliano? (si fa con identità senza tirare fuori centri e robe varie...)
. Questa ultima cosa è banale, si fa in mezza riga. Il fatto è che non dimostro nulla. Queste implicazioni sono tutte ovvie, la cosa non ovvia è dimostrare la prima proposizione, ovvero "gli elementi di H commutano". Ma dato che se dimostro l'abelianità per G discende quella di H, e che mi pareva più difficile e comunque con meno cose da poter usare dimostrare quella per H, in quanto $G$ è un gruppo e H solo un insieme, ho scritto per intero la mia idea, che ora ho ripetuto.
In ogni caso sono accette anche dimostrazioni del fatto che $H$ è abeliano.
Ma quello che vorrei io è dimostrare che $Z(h)=G$ per ogni $h in H$, con $Z(h)$ il centralizzatore di h in G.
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Messaggioda Thomas » 23/10/2008, 00:16

cazzata... work in progress
Ultima modifica di Thomas il 23/10/2008, 00:19, modificato 1 volta in totale.
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Messaggioda Martino » 23/10/2008, 00:18

Curioso questo problema.

Una cosa: ma non state snobbando un po' questi famosi tre quarti? alvinlee, la tua idea di tentare di dimostrare che $H$ è un sottogruppo è certamente un'ottima idea, ma quello che mi lascia dubbioso è che risolve tutti i casi in cui $H$ ha più della metà degli elementi di $G$, non solo il caso di $3/4 |G|$. Inoltre per mostrare la chiusura ci si riduce bene o male a mostrare che $G$ è abeliano, e questo a priori è più forte della stessa tesi. Non so, magari la tua strada è giusta, ma io cercherei altrove..
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Messaggioda Thomas » 23/10/2008, 00:31

mi scuso avinlee88 per la vistosa serie di errori............. mi sono confuso un pò troppo tra tesi ipotesi e corollari........ :)....... in effetti sembrava troppo banale :cry:

mi prenderò un pò di tempo per pensarci con calma...


ciao

@Martino: snobbare i 3/4? boh forse hai ragione......... dipende quanto si crede nella buona fede di chi ha scritto il problema :-D
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Messaggioda alvinlee88 » 23/10/2008, 01:25

Martino ha scritto:Curioso questo problema.

Una cosa: ma non state snobbando un po' questi famosi tre quarti? alvinlee, la tua idea di tentare di dimostrare che $H$ è un sottogruppo è certamente un'ottima idea, ma quello che mi lascia dubbioso è che risolve tutti i casi in cui $H$ ha più della metà degli elementi di $G$, non solo il caso di $3/4 |G|$. Inoltre per mostrare la chiusura ci si riduce bene o male a mostrare che $G$ è abeliano, e questo a priori è più forte della stessa tesi. Non so, magari la tua strada è giusta, ma io cercherei altrove..

Capisco che vuoi dire, ma ascolta. Se $H$ è un sottogruppo, allora basterebbe che avesse almeno $1/2|G|$ elementi per concludere. Quello che io sostengo è che per dimostrare che $H$ è un sottogruppo, ovvero come ho scritto che $forall h in H$ $Z(h)=G$, si debba usare necessariamente l'ipotesi specifica del 3/4. Diciamo che sono convinto, anche perchè ho a disposizione la soluzione fatta da un nostro prof che intraprende una strada molto simile, e ala fine dimostra che $H subset Z(G)$ usando proprio il fatto dei 3/4. La sua dimostrazione di questo passaggio chiave che ho chiesto qua, 1) non mi piace e mi risulta come calata dal cielo 2) non mi sarebbe mai venuta in mente perchè appunto mi pare un pò calata dal cielo, ma forse sono io che ho un mio "stile" personale (come tutti) nelle dimostrazioni. Per questo l'ho chiesta qua dentro. E ovviamente la sua dimostrazione di questo fatto non funziona se si prende che la tesi valga per meno elementi di $3/4|G|$. Ma in generale il fatto che una dimostrazione non funzioni non vuol dire che la cosa non sia vera. La mia convinzione è però, visto che nella dimostrazione del prof il 3/4 è proprio "giusto giusto", tale ipotesi sia necessaria, ovvero che si possa trovare un controesempio in cui questa cosa valga per almeno $1/2|G|$ elementi di $G$ ma che magari non valga per tutti (e dunque deve valere per un numero $x$ di elementi (tralascio le parti intere) $1/2 |G|<=x<3/4|G|$). A parte questa mia fiducia, spero di aver chiarito il fatto che secondo me l'ipotesi dei 3/4 sia una ipotesi fondamentale per dimostrare il punto chiave del problema, ovvero che $Hsubset Z(G)$.

Se poi volete posto la dimostrazione del prof di questo passaggio chiave, non che sia particolarmente difficile, ma per i motivi detti sopra vorrei vedere cosa propone il forum. Se viene fuori che è l'unico o quasi modo di idmostrare certe cose, devo rassegnarmi a imparare a pensare così.
grazie per l'attenzione.
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