Scusate se mi sono assentato un pò.
fields ha scritto:@alvinlee
Se ho ben capito, vuoi dimostrare che $Z(h)=G$ per ogni $h\in{g | f(g)=g^{-1}}:=H$. Questo in effetti implica che $G$ e' abeliano e facilmente tutta la tesi.
Esatto
fields ha scritto:3. Per ogni $a\in H$, $Z(a)=G$. Infatti, per 2., $|{b | a,b,ab\in H}|>1/2|G|$. Dunque, per 1., $|Z(a)|>1/2|G|$; essendo $Z(a)$ un sottogruppo di $G$, $Z(a)=G$.
Come al solito grazie mille fields, interventi sempre pronti e precisi. Avrei però un dubbio relativo a quanto sopra quotato, probabilmente sono in errore io. A quanto ho capito, il tuo schema di ragionemtno è il seguente: Affermi che, fissato $ainH$, $Z(a)={binH|abinH}$, e dopo sostieni che ${binH|abinH}=H nn aH$. In tal modo torna tutto (sui 3/4 ci torno dopo).
Se è questo quello che volevi dire, ho 2 obiezioni:
1)Fissato $ainH$, chiamo $T_a={binH|abinH}$ (è il tuo ${b|a,b,abinH}$)
Non sono tanto sicuro che $Z(a)=T_a$. Infatti è certo che se $a,b,abinH$, allora $ab=ba$, ossia $binZ(a)$, da cui $T_a subsetZ(a)$. Non credo valga l'inclusione opposta, in quanto $Z(a)$ consta degli elementi di $G$ che commutano con $a$, non solo quelli di $H$. In questo secondo caso in realtà si starebbe parlando del centralizzante in $H$ di $a$, e per questo in effetti vale anche la seconda inclusione, dato che $ab=ba =>(ab)^(-1)=(ba)^(-1)=a^(-1)b^(-1)=f(a)f(b)=f(ab)$, da cui $abinT_a$, ma ho usato che $f(b)=b^(-1)$, mentre se $b$ è un generico elementi di $G$ non è detto che stia anche in $H$, e che dunque valga $f(b)=b^(-1)$.
2)Non sono tanto sicuro che ${binH|abinH}=H nn aH$. In effetti non mi sembra valga nessuna delle due inclusioni. Ad esempio se $a,b,abinH$, allora $ab=h$ per un certo $hinH$, ossia $b=a^(-1)h$, e non so se questo elementi sta in $H nn aH$. Analogamente se $binH nn aH$, posso dire che $b=ah$ per un certo $hinH$, ma $ab=(a)(ah)$, e non so dire se questo elemento stia ancora in H. Tutto questo problema però si risolve prendendo $H nn a^(-1)H$, in tal modo le due inclusioni sono facilmente verificabili e vale il discorso sulla cardinalità.
Ammesso di non aver detto eresie, resterebbe da correggere il punto 1).
Per il discorso su $3/4|G|$ o $[3/4|G|]+1$, io vi ho scritto il testo correttamente, che dice "..almeno 3/4 degli elementi di $G$". Magari come testo è un pò ambiguo, potremmo differenziare i casi in cui $|G|=4k$, e prendere semplicemente $3/4|G|$, quelli in cui $|G|=2k+1$, e prendere $[3/4|G|]+1$, quelli in cui $G=2k$ e prendere $3/4|G|$ se k è pari, $[3/4|G|]+1$ se k è dispari. Non è che io possa "sciogliere il mistero"
, il testo è uguale per tutti, dobbiamo decidere se suddividere in casi o cosa. Comunque non è molto importante, preferisco avere chiarezze sul mio punto 1), ossia sapere se ho sbagliato nel rifare il ragionamento di fields, se l'ho fatto giusto ma lui da per scontato che valga anche la seconda inclusione mentre io sono stupido e non la vedo, oppure se effettivamente dobbiamo cercare un modo di dimostrarlo.
Devo dire che fino a qui, la dimostrazione di "noi tutti" (è un pò in comune) è terribilmente simile a quella del prof, e il passaggio che a noi manca è proprio la seconda inclusione, che lui dimostra appunto sfruttando ancora una volta l'ipotesi dei 3/4. E' strano vedere come opo diversi post siamo approdati quasi papale papale alla dim del prof...