significato "classe di equivalenza"

[hee136]

Riporto per chiarezza il testo completo dell'esercizio evidenziando la parola su cui chiedo il significato:

Si definiscano insiemisticamente i numeri interi come classi di equivalenza di coppie di numeri naturali.


Chiunque posti soluzioni, è pregato di utilizzare la funzione SPOILER. Grazie!

[Fioravante Patrone]

Per quale motivo lo "spoiler"?

E' una costruzione super-ultra-mega-standard.

[hee136]

Per quale motivo lo "spoiler"?

E' una costruzione super-ultra-mega-standard.

Lo spoiler solo per chi vuole postare la soluzione dell'esercizio.

[G.D.]

Quoto Fioravante. Più che un esercizio si tratta della definizione costruttiva dei numeri interi relativi.
Cos'è che non ti è chiaro?

[hee136]

Quoto Fioravante. Più che un esercizio si tratta della definizione costruttiva dei numeri interi relativi.
Cos'è che non ti è chiaro?

Prendo una coppia di numeri naturali arbitrari a e b tali che a<b.
Sommandoli trovo un numero intero positivo. (a+b>0)
Sottraendo a da b trovo un ulteriore numero intero positivo. (b-a>0)
Sottraendo b da a trovo un numero intero negativo. (a-b<0)

Ripetendo lo stesso procedimento con i numeri ottenuti si arriva a definire i numeri interi positivi e negativi.

E' corretto?

[G.D.]

Ma così non definisci nessuna classe di equvalenza.

[G.D.]

Definire l'inseme $ZZ$ attraverso le classi di equivalenza significa definirlo come insieme quoziente di $NN times NN$ rispetto a una precisa relazione d'equivalenza $\sim$.

Tieni conto che una relazione binaria su un insieme $S$ è una parte del prodotto cartesiano $S times S$ e che questa relazione è di equivalenza se valgono le proprietà rflessiva, smmetrica e transitiva; in tal contesto la classe di equivalenza $[a]$ è una parte di $S$ definita così: $[a]:={x in S|x \sim a}$.

[hee136]

Gli interi sono i naturali con segno (+ o -).

[vict85]

WIZaRD lo aveva capito... ti stava spiegando l'esercizio...

Tu non possiedi $ZZ$, lo stai definendo attraverso una relazione tra elementi di $NN^2$ (o di $NN\timesNN$ se preferisci).
Ora in $NN^2$ non è definito il segno meno (o meglio può essere definita l'operazione sottrazione ma non per tutti gli elementi di $NN\timesNN$). Lo stesso può essere detto per la divisione.

In ogni caso tu devi definire la relazione utilizzando SOLO la somma tra elementi di $NN$.

Incomincio l'esercizio e poi lo finisci tu... tentando di capirlo. Se non ci riesci chiedi.

$(m, n)\sim(m', n')$ se e solo se... $m\ +\ ...\ =n\ +\ ...$

Il motivo per cui $m$ e $n$ non sono dalla stessa parte è ovviamente che se metti $m+n=m'+n'$ troveresti una relazione di equivalenza che è "uguale" a $NN$ mentre tu hai bisogno che descriva $ZZ$.

Quello che manca è:
1) finire di scrivere la relazione
2) dimostrare che è una relazione di equivalenza
3) descrivere le classi di equivalenza e far vedere che è equivalente a $ZZ$

Per vedere se hai capito prova a rispondere a questa domanda: "Cambia qualcosa se consideriamo lo zero compreso o meno nei numeri naturali?"

[Megan00b]

Se posso pignolare...

Tu non possiedi $ZZ$, lo stai definendo attraverso una relazione tra elementi di $NN^2$
......
3) descrivere le classi di equivalenza e far vedere che è equivalente a $ZZ$

Non è che così gli si confonde un po' le idee....
ps: che bello pignolare