Elementi invertibili in un anello quoziente

[gygabyte017]

Sia $\mathbb{F} := (ZZ[x]) / ((7, x^3-5x+1))$

Trovare se esiste $bar(3+x-5x^4)^-1$.


Ora, finchè l'anello sul quale si quozienta è almeno a ideali principali, so come si procede: avrei calcolato l'MCD tra gli elementi dell'ideale per trovare l'unico elemento che lo genera, avrei verificato che l'MCD tra il generatore e l'elemento da invertire fosse un associato dell'unità, e tramite bezout avrei calcolato l'inverso.

Ma se l'anello non è a ideali principali come in questo caso, come potrei procedere?!?!

Grazie

[pic]

Puoi comunque farti un'idea di come stiano le cose provando con $QQ$ al posto di $ZZ$.

Inoltre puoi anche notare che gli elementi di quel quoziente sono polinomi a coefficienti in $ZZ_7$

[gygabyte017]

Si capisce che l'ideale è generato dagli elementi $7$ e $x^3-5x+1)$ ?

Ok ora provo a vedere che esce mettendo $QQ$!

[gygabyte017]

No non riesco ad andare avanti.... perchè i coefficienti sono in $ZZ_7$? Come dovrei procedere?

[miuemia]

aplica un teorema di isomorfismo.... in particolare quozienta opportunamente per $(7)$ ed ecco perchè hai i coefficienti modulo 7.

buon inizio di settimana a tutti e buona nottr