Determinare un polinomio tale che...

[Lord K]

Problema principale:

Dato un insieme di dati $(y_i,x_i)$ determinare il polinomio che renda minimo lo scarto quadratico, ovvero:

$S=(y_i-sum_(k=0)^n a_k*x_i^k)^2=$minimo

Le formule usuali portano alla determinazione degli $a_k$ una volta stabilito $n$ mediante matrici (molto grandi, leggasi $(n+1)^2$), ma tutto sommato semplici. Come posso, ricollegandomi ad un post precedente, determinare il minimo anche sul grado del polinomio? O anche, sono sicuro che con il crescere del polinomio lo scarto quadratico descresca, quindi più grande è $n$ meglio è??

Grazie a coloro che mi daranno una mano!

P.S. l'esercizio è solo per togliere un poca di ruggine alle mie conoscenze di analisi numerica.

[Oblomov]

O anche, sono sicuro che con il crescere del polinomio lo scarto quadratico descresca, quindi più grande è $n$ meglio è??

Direi proprio di sì. Dopotutto, se prendi n=m, dove m è il numero di punti dati, puoi sempre costruire un polinomio che passa per tutti i punti, azzerando lo scarto.
Il problema è che calcolare gli $a_k$ per un n generico è piuttosto complesso e bisogna cercare di usare un polinomio semplice (leggi "di grado più piccolo possibile").
A questo punto mi viene una proposta: creare una funzione $F(n, s)$ che dipende direttamente dal grado scelto per il polinomio e dallo scarto minimo per tale grado (cioè aumentando uno dei due aumenta il valore della funzione) e cercare il minimo per la suddetta. Come possiamo definire una tale funzione in modo che ci dia indicazioni "utili" sulla scelta ideale di n?
Mi sto facendo troppi problemi?

[Lord K]

Grazie per l'osservazione.

Sulla situazione al limite sono concorde con la tua visione, ma mi manca una dimostrazione della decrescenza dell'errore commesso... o meglio: supponiamo di avere $100.000$ coppie di dati del tipo $(y_i,x_i)$, come posso dire mediante una dimostrazione rigorosa che se scelgo $n, m in NN$ tali che $n>m$ allora:

$sum_(k=0)^100000(y_i- p(n,x_i))^2 < sum_(k=0)^100000(y_i- p(m,x_i))^2$ ???

Suppongo di non ricordare un teorema specifico per questi "resti" ma non so quale...