Anello a fattorizzazione unica

[gygabyte017]

Sia $R=(ZZ[x,y,z])/(xy+1,y-1)$. Dire se $R$ è un anello a fattorizzazione unica.

Come posso procedere?? Avevo pensato di dimostrare che ogni elemento irriducibile è anche primo, ma ho serie difficoltà a capire come sono fatte le classi in quel quoziente... Idee?

Grazie!

[Martino]

Tieni presente che i generatori del sottogruppo rispetto a cui fai il quoziente costituiscono le relazioni: puoi pensare ad $A//I$ come ad $A$ in cui ogni elemento di $I$ è schiacciato a zero. Nel tuo caso puoi pensare a $R=ZZ[x,y,z]//(xy+1;y-1)$ come a $ZZ[x,y,z]$ dove $xy+1=0$ e $y-1=0$, ovvero $y=1$ e $1=-xy=-x$. In questo modo $x$ e $y$ "cadono" in $ZZ$, quindi $R cong ZZ[z]$, che è UFD perché lo è $ZZ$.
Lascio a te la formalizzazione del tutto

[gygabyte017]

Mi stai rivelando una cosa bellissima che risolverebbe molti problemi, però non riesco a comprenderla appieno:
perchè succede questo? Cioè ho quasi capito, tutte le combinazioni dell'ideale vanno in zero, però potresti spiegarmelo in modo generale per favore?
Finora per capire chi erano le classi di un anello tentavo o di isomorfizzarlo a qualcosa (direttamente o con il doppio quoziente), oppure ragionando sul fatto che $arhob <=>a-b in I$. Invece questo sarebbe un modo molto carino per lavorare sui polinomi...

Perchè funziona?

Grazie 1000 per la pazienza!

Edit: e se nell'esercizio precedente fosse stato $I=(xy+1,x-y)$ a chi sarebbe stato isomorfo $R$?

[Martino]

Ti faccio un esempio che dovrebbe forse fare chiarezza: se hai un anello $A$ e hai $R=A[X]//(x-1)$, intuitivamente sei portato a dire (come ho scritto nell'intervento precedente) che $R$ è $A[X]$ dove $x$ cade in $A$ e quindi che senza tanti crismi, $R=A$. Per vederlo costruisci un opportuno isomorfismo $R cong A$, e per farlo usi il primo teorema di omomorfismo: quello che viene in mente è definire

$A[X] to A$, $x to 1$.

Esiste un unico omomorfismo siffatto, esso manda $P(x)$ in $P(1)$, è la valutazione in $1$. Il suo nucleo è l'ideale $(x-1)$ e quindi ecco che $A[X]//(x-1) cong A$.

Il tuo caso specifico è del tutto analogo a questo: definisci

$ZZ[x,y,z] to ZZ[z]$, $x to -1$, $y to 1$, $z to z$.

Esiste un unico omomorfismo siffatto, si tratta della valutazione in $(-1,1,z)$, e il suo nucleo è proprio $(x+1;y-1)=(xy+1;y-1)$. Quindi usi come prima il primo teorema di omomorfismo e concludi.

In ogni caso è utile avere l'idea intuitiva seguente del quoziente: $A//I$ è $A$ in cui $I$ è schiacciato a zero. In questo modo $a rho b$ se e solo se $a$ e $b$ coincidono dove $I$ è zero, ovvero $a-b in I$.

[gygabyte017]

Perfetto, sei stato chiarissimo!

Mi rimane solo un dubbio, forse banale: nel caso $I=(xy+1,x-y)$ avrei che $x=y$ e $x^2+1=0$ ma quest'ultimo è irriducibile in $ZZ[x]$! In questo caso che succederebbe, visto che non riuscirei a trovare un isomorfismo con quel nucleo??

RiGrazie ancora!

[Martino]

In quel caso hai $ZZ[x,y] // (xy+1;x-y) cong ZZ[x] // (x^2+1) cong ZZ[i]$, questo e' l'anello degli interi di Gauss, che se non sbaglio e' un anello euclideo, quindi PID, quindi UFD.

Naturalmente il primo esercizio che hai proposto era relativamente semplice perche' riuscivi a "ricavare" $x,y$.

[gygabyte017]

Benissimo viene anche a me la stessa cosa.

E invece se fosse stato $ZZ[x,y,z] // (xy+1,y-x)$? Arrivo a dire che è $cong ZZ[x,z] // (x^2+1)$ però non saprei che cosa mi è uscito..........

[Martino]

E invece se fosse stato $ZZ[x,y,z] // (xy+1,y-x)$? Arrivo a dire che è $cong ZZ[x,z] // (x^2+1)$ però non saprei che cosa mi è uscito..........

Quello e' semplicemente $ZZ[i][z]$, cioe' l'anello dei polinomi in una variabile a coefficienti in $ZZ[i]$.

[Thomas]

E invece se fosse stato $ZZ[x,y,z] // (xy+1,y-x)$? Arrivo a dire che è $cong ZZ[x,z] // (x^2+1)$ però non saprei che cosa mi è uscito..........

Quello e' semplicemente $ZZ[i][z]$, cioe' l'anello dei polinomi in una variabile a coefficienti in $ZZ[i]$.

è vero!! e dire che è da quando sono bambino che mi raccontavano la storiella in cui il povero numero reale veniva ucciso dal polinomio cattivo $p(z)=(3+2i)z+(5i)z^2$.... !

[Martino]

e dire che è da quando sono bambino che mi raccontavano la storiella in cui il povero numero reale veniva ucciso dal polinomio cattivo $p(z)=(3+2i)z+(5i)z^2$.... !

Mh? Potresti spiegarti meglio, mi interessa!