MCD tra polinomi

[kekko89]

Se facendo le divisioni euclidee tra due polinomi,ottengo un resto che è una costante non nulla..vuol dire che l'MCD tra i due polinomi è uno??

[rubik]

dipende da dove "sono" i polinomi:

ad esempio in $ZZ[x]$ i polinomi $p(x)=5x+5$ e $q(x)=10x+5$ hanno $5$ hanno come fattorizzazione unica $p(x)=5(x+1)$ e $q(x)=5(2x+1)$ dove 5 è un elemento irriducibile dell'anello e quindi risulta essere l' MCD (ed è diverso da 1 ovviamente )

visti in $QQ[x]$ entrambi hanno un solo fattore irriducibile che è $x+1$ per $p(x)$ e $2x+1$ per $q[x]$ e quindi l'MCD in quest'altro anello è 1. Questo succede perchè 5 è invertibile in $QQ[x]$ quindi "non conta" nella fattorizzazione.

mi sembra una spiegazione un po' nebulosa, spero comunque ti sia utile

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In poche parole quella cosa è l'MCD, a meno di associati.. quindi MCD è 1 se e solo se è un suo associato

[kekko89]

e gli associati sono solo gli elementi invertibili giusto? Quindi nel caso di $K[x]$ le costanti non nulle..?

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Scusa, "essere associato di" è una relazione binaria.. a è associato di b quando a|b e b|a. Da questa definizione segue che a è associato di b se e solo se a=cb ove c è un invertibile.

[kekko89]

okok..si,era quello che intendevo!grazie mille

[kekko89]

Per esempio: $(x^4+1)=(x^3-1)(x)+(x+1)$ e $(x^3-1)=(x+1)(x^2-x+1)-2$. Quindi $MCD(x^4+1,x^3-1)=2$Giusto?