Domandina sui gruppi (e sulle matrici invertibili)

[vict85]

In generale no... il sottogruppo generato dalla matrici elementari potrebbe non coincidere con $GL_n$. Ovviamente coincide nel caso particolare ma quello è quello che devi dimostrare.

Si può dire solamente se quegli elementi sono generatori del gruppo, cioé se il più piccolo sottogruppo che contiene quelli elementi è il gruppo stesso.

[Martino]

Certamente ogni elemento di un gruppo è prodotto di altri elementi dello stesso gruppo: per esempio $a=(ab^{-1})b$, ma questo non credo ti aiuti nel tuo caso particolare.

Cosa intendi per "matrici elementari"? Se intendi quelle del tipo $1+e_{ij}$ (dove $e_{ij}$ è la matrice che ha $1$ nell'entrata $(i,j)$ e zero altrove) allora la risposta è no perché tali matrici hanno determinante $1$ e quindi pure i loro prodotti arbitrari.