Corrispondenza di Galois

[carter72]

Dato il polinomio x^4-2 devo determinare i campi intermedi fra il suo campo di spezzamento e Q.
La teoria mi dice che ci dovrebbero essere 5 campi intermedi di grado 4 (uno per ogni sottogruppo di ordine 2 del gruppo di Galois che è isomorfo al gruppo diedrale del quadrato).
Io ne ho trovati soltano 3, mentre i restanti due sottogruppi mi determinano dei campi di grado 2, tra l'altro coincidenti.
Qualcuno mi saprebbe aiutare? Grazie

[miuemia]

magari posta il tuo risultato e vediamo cosa c'è che non va.
ciao

[carter72]

Grazie per la disponibilità.

Il campo di spezzamento di $f(x)=x^{4}-2$ è $Q(i,\sqrt_[4]{2})$ e il gruppo di Galois $G$ di $f(x)$ è isomorfo a $D_{4}$ che ha $3$ sottogruppi di ordine $4$ e $5$ di ordine $2$. Penso alle radice di $f(x)$ come ai vertici di un quadrato nel piano complesso. Indico con $r$ la rotazione antioraria di $90$ gradi e $s$ la simmetria rispetto all'asse reale quindi $G=[id,r,r^{2},r^{3},s,rs,r^{2}s,r^{3}s]$. I campi fissati dai 3 sottogruppi di ordine 3 dovrebbero essere $Q(i),Q(i\sqrt{2})$ e $Q(\sqrt{2})$ , il campo fissato da $<r^{2}>$ mi viene $Q(i,\sqrt_{2})$, quello fissato da $<r^{2}s>$ dovrebbe essere $Q(i\sqrt_[4]{2})$ e quello fissato da $<s>$ mi risulta $Q(\sqrt_[4]{2})$ mentre quelli fissati da $<rs>$ e $<r^{3}s>$ mi vengono di nuovo di grado $2$ e tra l'altro coincidenti. Dove sbaglio?
Spero di esser stato abbastanza chiaro e che si leggano le formule visto che è la prima volte che le scrivo. Ciao

[carter72]

Ho visto che son venuti fuori dei pasticci nel mio messaggio. Dove compare il 4 tra parentesi quadre si intende radice quarta di 2 e dove compare $Q(i,{2})$ intendevo $Q(i,\sqrt{2})$. Scusate ho visto solo ora che è possibile vedere l'anteprima di ciò che si scrive

[vict85]

Ho visto che son venuti fuori dei pasticci nel mio messaggio. Dove compare il 4 tra parentesi quadre si intende radice quarta di 2 e dove compare $Q(i,{2})$ intendevo $Q(i,\sqrt{2})$. Scusate ho visto solo ora che è possibile vedere l'anteprima di ciò che si scrive

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[carter72]

grazie per la dritta

[miuemia]

vedi che non sono di ordine 3 i campi in quanto 3 non divide 8... attento!
guarda questo link sotto a pag 105 c'è questo esempio spiegato bene.

http://www.mat.uniroma1.it/people/campa ... itolo5.pdf

[carter72]

Ti ringrazio molto.Ciao

[miuemia]

prego figurati..smanettando su internet si può trovare un pò di tutto.
ciao ciao