implicazione logica

[Audrey]

Ragazzi matematici avrei bisogno del vostro aiuto per chiarire questo esercizio.

Avendo queste due proposizioni:
P={ x minore o uguale a 2}
Q={ 2/x maggiore o uguale a 1}

Ho svolto così:
- x< o uguale 2 x appartenente ( - infinito; 2]
- x < o uguale 2 x appartenente ( - infinito; 2]

La soluzione mi dice che Q implica P ma io vorrei sapere PERCHE'?? grazie mille

[Lorin]

$Q => P$ in quanto, forse, essendo $Q = {2/x >=1}$ la relazione $2/x >=1$ la puoi anche scrivere come $x/2<=1$ prendendo semplicemente i reciproci. Quindi facendo il m.c.m avrai $x<=2$ che è proprio l'insieme P.

Io ho ragionato in questo modo, perchè mi sembrava il più logico.

[Audrey]

grazie!

e invece se ho
P= | x-2| > o uguale 1
Q= -x''+ 2x-1 < o uguale 0

ho risolto così ma non sono riuscita ad arrivare a una soluzione.

x-2>= 1
x>=3

-x+2>=1
-x>=-1
x>=1


-x''+2x-1>=0
x= +- 1

x>= -1 e x<=1

come faccio a stabilire l'implicazione?
grazie mille

[Lorin]

per P, $|x-2| >=1$ ho svolto in questo modo

$x-2>=0 => x>=2$

quindi si creano i due casi:
$x<2$
$-x+2>=1$

Unito ad un secondo di sistema:

$x>2$
$x-2>=1$


te li studi e vedi che le soluzioni sono $x<=1 uuu x>=3$


Mentre per Q, non saprei dirti in quanto aggiustando l'equazione di seconod grado, verrebbe:

$x^2-2x+1 >=0 => RR$ (cioè sempre verificata)

[Audrey]

anche a me era venuta x<=1 unito con x>=3.
mentre Q avevo risolto e avevo ottenuto x>= -1 e x<=1. Solo che non riesco a capire, guardando il risultato, perchè mi dice che P => Q.

comunque grazie perchè sei gentilissimo/a!

[Lorin]

no ma guarda che la seconda è sempre verificata in quanto $x^2-2x+1>=0 => (x-1)^2>=0 => RR$

per questo non so perchè $P=>Q$

[Audrey]

io avevo risolto l'equazione di secondo grado, poi avevo fatto la parabola e preso i valori positivi quindi quelli esterni.

[G.D.]

$P => Q$ è vera perché $P$ è vera, $Q$ è vera e l'insieme di vertà di $P$ è una parte di quello di $Q$.
Non sarebbe stata vera l'implicazione $Q => P$: con $Q$ vera non è detto che lo sia $P$.

[Audrey]

$P => Non sarebbe stata vera l'implicazione $Q => P$: con $Q$ vera non è detto che lo sia $P$.

è proprio questo il punto cruciale che non riesco a capire! perchè?

[Martino]

Q è vera sempre, quindi in particolare lo è quando è vera P.