sommatoria

[Audrey]

Ragazzi come si risolve questa sommatoria?

somma in [ 1/4 elevato a k - k ] per k che va da 50 a 200.

[gugo82]

$\sum_(k=50)^(200)(1/4)^k-k$?

Per proprietà associativa trovi $\sum_(k=50)^(200)(1/4)^k-k=\sum_(k=50)^(200)(1/4)^k-\sum_(k=50)^(200)k$, così basta risolvere separatamente $\sum_(k=50)^(200)(1/4)^k$ e $\sum_(k=50)^(200)k$.
Per quanto riguarda la prima, sostituisci $k=j+50$ (ricorda che se $k$ va da $50$ a $200$, allora $j=k-50$ va da $0$ a $150$) così trovi:

$\quad \sum_(k=50)^(200)(1/4)^k=\sum_(j=0)^(150)(1/4)^(j+50)=\sum_(j=0)^(150)(1/4)^(50)*(1/4)^j=(1/4)^(50)*\sum_(j=0)^(150)(1/4)^j$

con la somma all'ultimo membro che è la somma parziale $150$-esima della serie geometrica di ragione $1/4$; per quanto riguarda la seconda sommatoria, tieni presente che:

$\quad \sum_(k=50)^(200)k=\sum_(k=50)^(200)k+\sum_(k=1)^(49)k-\sum_(k=1)^(49)k=\sum_(k=1)^(200)k-\sum_(k=1)^(49)k$

e ricorda come si esprime la somma $\sum_(k=1)^(N)k$ dei primi $N$ numeri naturali...
Metti tutto insieme, et voilà, il gioco è fatto.

[Audrey]

Non riesco bene a capire che formula applichi per svolgere la somma di 1/4 alla k per k che va da 50 a 200. (quella dove sostituisce a k la j)

[gugo82]

Hai $\sum_(k=50)^(200)(1/4)^k$, che è molto simile a qualche somma parziale della serie geometrica di ragione $1/4$.
Il trucco sta nel "diminuire" l'indice $k$, in modo da farlo partire da $0$ e non da $50$: allora scelgo di sostituire $k=j+50$, ossia $j=k-50$. Se $k$ va da $50$ a $200$ vedi facilmente che $j$ va da $0$ a $150$, così puoi scrivere:

$\sum_(k=50)^(200)(1/4)^k=\sum_(j=0)^(150)(1/4)^(j+50)=\sum_(j=0)^(150)(1/4)^(50)*(1/4)^j \quad$;

saprai che quando moltiplichi tutti i membri della sommatoria per una stessa quantità puoi portare tale quantità fuori dal simbolo sommatorio: nel nostro caso tutti gli addendi sono moltiplicati per $(1/4)^(50)$, quindi puoi scrivere:

$\sum_(k=50)^(200)(1/4)^k=(1/4)^(50)*\sum_(j=0)^(150)(1/4)^j $

e la sommatoria al secondo membro è proprio la somma parziale d'indice $150$ della serie geometrica di ragione $1/4$, quindi hai:

$\sum_(j=0)^(150)(1/4)^j =(1-(1/4)^(151))/(1-1/4)=(4^(151)-1)/(3*4^(150))$

ed infine:

$\sum_(k=50)^(200)(1/4)^k=(1/4)^(50)*(4^(151)-1)/(3*4^(150))=(4^151-1)/(3*4^(200))$

salvo sviste o erroridi calcolo.

[Audrey]

controllo subito...grazie mille per la pazienza e la gentilezza!