Sugli elementi invertibili di $ZZ_n$

[Dorian]

Dimostrare che, nell'anello $ZZ_n$, vi è almeno un elemento autoinverso (diverso da $[1]$, ovviamente...);


Non so se esiste effettivamente il termine "autoinverso"... Ciò che intendo è che:

$EE [a]_n in ZZ_n - [1]_n : [a]_n[a]_n=[1]_n$.

[vict85]

Dimostrare che, nell'anello $ZZ_n$, vi è almeno un elemento autoinverso (diverso da $[1]$, ovviamente...);


Non so se esiste effettivamente il termine "autoinverso"... Ciò che intendo è che:

$EE [a]_n in ZZ_n - [1]_n : [a]_n[a]_n=[1]_n$.

Consideriamo il gruppo degli elementi invertibili di $ZZ_n$, con $n$ qualsiasi. Questo gruppo è ciclico e quindi ha uno e un solo sottogruppo per ogni divisore di $\varphi(n)$. Dire che un elemento è inverso di se stesso equivale a dire che quell'elemento ha cardinalità $2$, ma se esiste un elemento di ordine $2$ allora esiste un sottogruppo di cardinalità $2$ e quindi $2|\varphi(n)$ per ogni $n$.
Tutte queste affermazioni sono equivalenti e si può passare da uno all'altro con passaggi banali.

Quindi il tuo problema è equivalente al seguente:
"Dimostrare che la funzione $\varphi$ di Eulero è sempre pari."

Se $n = \prod_(i=1)^(m) p_i^(k_i)$ allora $\varphi(n) = \prod_(i=1)^(m) (p_i - 1)p^(k_i -1)$. Scritto in quel modo è evidente che $\varphi(n)$ è un prodotto di numeri pari e quindi è pari.


P.S: Dato che il gruppo degli elementi invertibili è ciclico vi è un solo elemento di ordine 2.

[Dorian]

Complimenti! Elegante il raccordo con la teoria dei gruppi, al quale non avevo pensato...

[Dorian]

"Dimostrare che la funzione $\varphi$ di Eulero è sempre pari."

... o per meglio dire, $phi(n)$ è pari per ogni $n$ maggiore o uguale a $3$...

[vict85]

"Dimostrare che la funzione $\varphi$ di Eulero è sempre pari."

... o per meglio dire, $phi(n)$ è pari per ogni $n$ maggiore o uguale a $3$...

Sì, avevo ignorato quei casi perché gli altri casi erano poco interessanti.

[alvinlee88]

Consideriamo il gruppo degli elementi invertibili di $ZZ_n$, con $n$ qualsiasi. Questo gruppo è ciclico

Falso: Z/8Z* (gli invertibili di $ZZ//8ZZ$) non è ciclico. In generale, Z/nZ* è ciclico se e solo se $n$ è $2$, $4$, $pk$ o $2 pk$ dove $p$ è un primo dispari e $k >= 1$. Senza scomodare troppa teoria dei gruppi io farei così:
Nell'anello $ZZ//nZZ$ considero l'elemento $[n-1]_n$. Si ha $[n-1]_n[n-1]_n=[n^2+1-2n]_n=[1]_n$, fine.

[vict85]

Consideriamo il gruppo degli elementi invertibili di $ZZ_n$, con $n$ qualsiasi. Questo gruppo è ciclico

Falso: Z/8Z* (gli invertibili di $ZZ//8ZZ$) non è ciclico. In generale, Z/nZ* è ciclico se e solo se $n$ è $2$, $4$, $pk$ o $2 pk$ dove $p$ è un primo dispari e $k >= 1$. Senza scomodare troppa teoria dei gruppi io farei così:
Nell'anello $ZZ//nZZ$ considero l'elemento $[n-1]_n$. Si ha $[n-1]_n[n-1]_n=[n^2+1-2n]_n=[1]_n$, fine.

Non lo sapevo, avevo per sbaglio generalizzato il teorema relativo ai campi finiti. Comunque non ho travato la dimostrazione di ciò che hai scritto, hai un link dove posso trovarla?
In ogni caso non ne avevo affatto bisogno: se la cardinalità è pari allora ha un numero dispari di elementi di cardinalità $2$ (cosa che si dimostra facilmente). Il gruppo moltiplicativo di $ZZ_n$ ha cardinalità $\varphi(n)$ e quindi se $\varphi(n)$ è pari ha almeno un elemento di cardinalità $2$.