Fattorizzazione in K[x]

[gygabyte017]

Allora, tu hai un polinomio di grado 4, e sai che sicuramente si scompone in qualche modo. Allora per forza o si scompone (almeno) nel prodotto di un polinomio di grado 1 e uno di grado 3, oppure in 2 di grado 2.
Il primo caso è impossibile, perchè se fosse possibile esisterebbe un $alpha in QQ$ che è radice del polinomio, ma allora lo avresti trovato prima quando fai ruffini. Quindi è per forza prodotto di due polinomi di grado 2.

Siano essi $(sx^2+ax+t)$ e $(hx^2+bx+k)$, allora $(x^4 - x^3 + 2x^2 - x + 1)=(sx^2+ax+t)(hx^2+bx+k)$. Il lavoro da fare è trovare chi sono questi polinomi. Però il problema è che hai ben 6 incognite, che sono molto scomode! Cerchiamo quindi di semplificare il problema facendo delle semplificazioni.

La prima cosa che possiamo fare è eliminare il coefficiente dei termini di grado massimo, rendendo i polinomi monici. Infatti, l'uguaglianza per essere vera, deve essere $x^4=shx^4$ e cioè $sh=1$, ma qualunque siano s e h, possiamo "metterli in evidenza":
$(x^4 - x^3 + 2x^2 - x + 1)=s(x^2+a/sx+t/s)h(x^2+b/hx+k/h)=sh(x^2+a/sx+t/s)(x^2+b/hx+k/h)$ ma abbiamo appena detto che $sh=1$ e quindi
$(x^4 - x^3 + 2x^2 - x + 1)=(x^2+ax+t)(x^2+bx+k)$ (ho rinominato gli altri coefficienti per semplicità usando lo stesso nome, del tipo ho sostituito a/s con a, tanto sempre incognita è).

Ci siamo tolti quindi due incognite.

Pensiamo ora ai termini noti. Il lavoro che stiamo facendo è in $QQ[x]$, ma a meno di massimi comun denominatori, avrai tutti i coefficienti in $ZZ$ (nel senso che se qualche coefficiente è del tipo $p/q$, bastafare il massimo comun denominatore e metterlo in evidenza per avere un polinomio a coefficienti in $ZZ$). Sui termini noti, sappiamo che $tk=1$. Ma pensando in $ZZ$, si avrà per forza o $t=1 k=1$ o $t=-1 k=-1$.

Quindi ci siamo tolti altre due incognite!

In definitiva ci rimane:
$(x^4 - x^3 + 2x^2 - x + 1)=(x^2+ax+-1)(x^2+bx+-1)$ dove c'è il $+-$ per indicare i due casi possibili dei termini noti... ovviamente o sono entrambi $+$ o sono entrambi $-$.

Ora non resta che trovare $a$ e $b$ come ti ho fatto vedere sopra....

[thedarkhero]

Ok, capito. Grazie
Fattorizzare in Z[x] o in Q[x] è quindi la stessa cosa? Si fa con Ruffini e sono a posto?

[gygabyte017]

Ok, capito. Grazie
Fattorizzare in Z[x] o in Q[x] è quindi la stessa cosa? Si fa con Ruffini e sono a posto?

Sì con ruffini sei quasi sempre a posto.

Però non è esattamente la stessa cosa...

Ti spiego bene:

Prendiamo per esempio il polinomio $x^2 - x/6 - 1/6$: si vede subito che è a coefficienti in $QQ$, e che le radici sono $1/2$ e $-1/3$ e che la fattorizzazione è $(x - 1/2)(x + 1/3)$ in $QQ[x]$, NON in $ZZ[x]$!

Però possiamo lavorare sul polinomio: $x^2 - x/6 - 1/6=1/6(6x^2-x-1)$. Il polinomio $6x^2-x-1$ ha ora coefficienti in $ZZ$, però ha come radici sempre $1/2$ e $-1/3$ che sono comunque in $QQ$! E possiamo scriverlo come $(2x-1)(3x+1)$ che è a coefficienti in $ZZ$. La fattorizzazione finale sarebbe quindi $1/6(2x-1)(3x-1)$, ma ATTENZIONE! Non è una fattorizzazione in $ZZ[x]$ perchè $1/6 notin ZZ$ mentre invece $1/6 in QQ$.

Concludendo quindi, lavorare "facendo finta" di essere in $ZZ[x]$ serve a semplificare i calcoli, ma poi bisogna sempre fare attenzione al "posto" (detto "anello dei polinomi") dove si sta cercando la fattorizzazione...


Puoi anche considerare il viceversa: ti si chiede di fattorizzare un polinomio in $ZZ[x]$, ma tu per evitare troppi conti, lo pensi in $QQ[x]$ e lo fattorizzi lì. Poi sistemi la fattorizzazione con il massimo comun denominatore, in modo da farti venire qualcosa tipo (numero)*(polinomio fattorizzato in $ZZ[x]$). Se "numero" sta pure lui in $ZZ$ hai finito, altrimenti se ti viene in $QQ$ lo dovrai moltiplicare per qualche pezzo della fattorizzazione, in modo che ti vengano tutti termini in $ZZ[x]$, ma questo non è sempre possibile...

Ti lascio un esercizio lungo e palloso che però riassume tutto per vedere se ti è tutto chiaro:

Fattorizzare in $ZZ[x]$, $QQ[x]$, $RR[x]$ e $CC[x]$ il polinomio $x^7 - x^6/2 - 5x^5/2 + 5x^4/2 - 31x^3/2 + 9x^2 + 42x - 36$.

Buon divertimento

[thedarkhero]

Non saprei come partire per fattorizzare in Z...

[Lord K]

Prova intanto a trovare alcune radici...

[thedarkhero]

Le possibili radici sono (per Ruffini) $+-$ 1 2 3 4 6 9.
Comunque devo raccogliere l'MCD?

[gygabyte017]

Anche $+-$ 12 18.

Però una radice, per essere veramente una radice, deve annullare il polinomio! Controlla quali delle possibili radici sono veramente radici... e una volta trovate, fai la divisione polinomiale con la regola di ruffini (la dovresti conoscere credo!)

Sull'MCD mah magari sì, però puoi farlo quando preferisci...

[thedarkhero]

Nessuno di questi valori annulla il polinomio

[gygabyte017]

Non è vero... sei sicuro di aver eseguito bene i calcoli?

[thedarkhero]

Scusate, sono 1 e -2
$(x-1)(x+2)(x^5-3/2x^4+x^3-3/2x^2-12x+18)$