Ideali

[thedarkhero]

Sia f(x) = x^2 + x + 1 in Z3[x].
1. Dire quanti elementi ha l’anello quoziente A = Z3[x]/(f(x)).
2. Verificare se A è dominio di integrità.

[Thomas]

questo provo a farlo, così me lo controlla Martino ... ammetto che oggi pome mi sto annoiando mortalmente....

1. suppongo che per $Z_3$ si intenda $F_3$, ovvero il campo con 3 elementi.

procedimento euristico... cerchiamo dei rappresentanti con una forma decente in quell'insieme... Visto che $F_3$ è un campo l'algoritmo di divisione si può portare a termine e quindi $Z_3[x]$ è un dominio euclideo. Preso un elemento nel quozionte $p(x)+A$ dove $A=(f(x))$ si può scrivere allora $p(x)=q(x)(1+x+x^2)+r(x)$ e prendere $r(x)=a_0+a_1x$ come rappresentante della classe, dove $a_0$ ed $a_1$ sono in $F_3$.
Inoltre ad ogni coppia $(a_0,a_1)$ le classi $a_0+a_1x+A$ sono distinte, visto che se due fossero uguali i polinomi $a_0+a_1x$ e $b_0+b_1x$ dovrebbero essere distinti per un elemento di $A$. Ma gli elementi di $A$ hanno grado maggiore o uguale a due!

Quindi c'è una bigezione tra le coppie $(a_0,a_1)$ e gli elementi di quell'anello, che viene ad avere quindi 9 elementi.

2. brutale: $(x+2)(x+2)=x^2+4x+4=x^2+x+1$... da cui A non è un dominio di integrità

[thedarkhero]

No, per Z3[x] intendo Z modulo 3...

[Thomas]

beh si la stessa a cosa credevi mi riferissi?.... non ho ancora ben capito le noazioni il punti è che per $Z/(3Z)$ (di cui quella scrittura credevo fosse una contratture) io considero in genere solo la struttura di gruppo additivo, ma non quella di campo ed ai campi mi sembra si debba riservare la lettera $F$... va bè non so come funziona cmq se ci definisci dei polinomi la struttura moltiplicativa te la devi portare dietro...

[thedarkhero]

Allora non capisco cosa hai fatto nel punto 2...

[Thomas]

ho trovato due classi non nulle (identiche in realtà a (x+2)+A ) t.c. quando vengono moltplicate tra loro danno un elemento nullo, ovvero appartenente alla classe nulla... un polinomio è nella classe nulla solo se è un multiplo di f(x), in questo caso ho trovato proprio f(x).... l' ultima uguaglianza segue solo dal fatto che i coefficienti vanno letti modulo 3...

[thedarkhero]

un polinomio è nella classe nulla solo se è un multiplo di f(x)

perchè?

[Martino]

un polinomio è nella classe nulla solo se è un multiplo di f(x)

perchè?

Mi intrometto solo per consigliarti di andare a studiarti la teoria quando ti vengono questi dubbi "esistenziali".

[Thomas]

Perchè gli elementi della classe nulla sono quelli dell'ideale per cui quozienti, giusto? !

E quale è questo ideale? quello generato da f(x)? e come è fatto? vale

$(f(x))={p(x)*f(x)| p in F_3[x]}$

l'uguaglianza dei due è un fatto noto e si vede così: a sinistra c'è il più piccolo ideale che contiene $f$. L'insieme a destra è un ideale (verificare!) e contiene f (perchè?), quindi contiene il più piccolo ideale (è una proprietà derivante dal fatto che l'intersezione di ideali è ideali!) e quindi l'insime a destra contiene l'insieme a sinistra.

Ma l'insieme a destra è banalmente contenuto in quello a sinistra, perchè se l'ideale di sinistra contiene f, per definizione di ideale contiene anche pf per ogni p.

Quindi i due insiemi sono uguali.

[Thomas]

ma forse in effetti la risposta di Martino è migliore .... anche perchè magari il tuo dubbio è più sulla costruzione del gruppo quoziente o che altro non so... e la nozione di insieme quoziente ha poco a che fare con anelli e forse è meglio vederla "sfoltita" da questi concetti quando si parla solo di gruppi...